As funções de onda para o problema da partícula na caixa 1D são autofunções do operador de momento linear? Em caso positivo quais são os autovalores? E do operador de posição? Em caso positivo quais são os autovalores? Calcule P psi(x) e x psi(x) para provar suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções de onda na partícula na caixa 1D! A questão pergunta se as funções de onda desse sistema são autofunções dos operadores de momento linear e posição. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre operadores em mecânica quântica, autofunções e autovalores. Vamos por partes para esclarecer tudo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre autofunções e autovalores. Em mecânica quântica, um operador é como uma “ferramenta” matemática que age sobre as funções de onda. Se uma função de onda psi(x) for uma autofunção de um operador O, isso significa que, ao aplicar O em psi(x), o resultado é a função original multiplicada por um número, chamado de autovalor lambda. Em fórmula:
O psi(x) = lambda psi(x)
Então, nosso objetivo é verificar se as funções de onda da partícula na caixa são autofunções dos operadores de momento linear P e posição x, e, se forem, encontrar os respectivos autovalores.

Passo 3

Vamos começar analisando o operador de momento linear P. Na mecânica quântica, ele é representado por:
P = -ihbar ddx
Onde hbar é a constante reduzida de Planck e i é a unidade imaginária.
A função de onda para a partícula na caixa 1D é geralmente dada por:
psin(x) = raiz2L sin(npi xL)
Onde n é o número quântico e L é o comprimento da caixa.
Vamos aplicar o operador P nessa função de onda:
P psin(x) = -ihbar ddx [ raiz2L sin(npi xL) ]
Calculando a derivada:
ddx sin(npi xL) = npiL cos(npi xL)
Então:
P psin(x) = -ihbar raiz2L npiL cos(npi xL)
Notamos que o resultado não é proporcional à função original psin(x), mas sim a uma função cosseno. Isso significa que psin(x) não é uma autofunção do operador de momento linear P.

Passo 4

Agora, vamos verificar se as funções de onda são autofunções do operador posição x. Esse operador age simplesmente multiplicando a função de onda por x:
x psin(x) = x cdot psin(x)
Substituindo psin(x):
x psin(x) = x cdot raiz2L sin(npi xL)
Aqui, o resultado é x vezes a função original, ou seja, não há um número escalar multiplicando psin(x). Portanto, psin(x) também não é uma autofunção do operador posição x.

Resposta

As funções de onda para a partícula na caixa 1D não são autofunções nem do operador de momento linear P nem do operador posição x. Quando aplicamos P ou x nas funções de onda psin(x), o resultado não é proporcional à função original, o que significa que não há autovalores associados a esses operadores para esse sistema.

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