As funções de onda para o problema da partícula na caixa 1D são autofunções do operador de momento linear? Em caso positivo quais são os autovalores? E do operador de posição? Em caso positivo quais são os autovalores? Calcule
e
para provar suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções de onda na partícula na caixa 1D! A questão pergunta se as funções de onda desse sistema são autofunções dos operadores de momento linear e posição. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre operadores em mecânica quântica, autofunções e autovalores. Vamos por partes para esclarecer tudo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre autofunções e autovalores. Em mecânica quântica, um operador é como uma “ferramenta” matemática que age sobre as funções de onda. Se uma função de onda
for uma autofunção de um operador
, isso significa que, ao aplicar
em
, o resultado é a função original multiplicada por um número, chamado de autovalor
. Em fórmula:
Então, nosso objetivo é verificar se as funções de onda da partícula na caixa são autofunções dos operadores de momento linear
e posição
, e, se forem, encontrar os respectivos autovalores.
Passo 3
Vamos começar analisando o operador de momento linear
. Na mecânica quântica, ele é representado por:
Onde
é a constante reduzida de Planck e
é a unidade imaginária.
A função de onda para a partícula na caixa 1D é geralmente dada por:
Onde
é o número quântico e
é o comprimento da caixa.
Vamos aplicar o operador
nessa função de onda:
Calculando a derivada:
Então:
Notamos que o resultado não é proporcional à função original
, mas sim a uma função cosseno. Isso significa que
não é uma autofunção do operador de momento linear
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se as funções de onda são autofunções do operador posição
. Esse operador age simplesmente multiplicando a função de onda por
:
Substituindo
:
Aqui, o resultado é
vezes a função original, ou seja, não há um número escalar multiplicando
. Portanto,
também não é uma autofunção do operador posição
.
Resposta
As funções de onda para a partícula na caixa 1D não são autofunções nem do operador de momento linear
nem do operador posição
. Quando aplicamos
ou
nas funções de onda
, o resultado não é proporcional à função original, o que significa que não há autovalores associados a esses operadores para esse sistema.