Em cada caso, suponha que a matriz aumentada de um sistema foi transformada, usando operações elementares nas linhas, na matriz escalonada reduzida dada. Resolva o sistema correspondente.
[ccccc|c1 & -6 & 0 & 0 & 2 & -2 0 & 0 & 1 & 0 & 4 & 7 0 & 0 & 0 & 1 & 5 & 8 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que foi transformado numa matriz escalonada reduzida. A matriz que temos é:
1 & -6 & 0 & 0 & 2 & | & -2 0 & 0 & 1 & 0 & 4 & | & 7 0 & 0 & 0 & 1 & 5 & | & 8 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
O que isso significa? Cada linha da matriz representa uma equação do sistema, e cada coluna antes da barra é uma variável. Vamos chamar as variáveis de . O conteúdo da matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente resolução de sistemas lineares usando matrizes escalonadas. Vamos precisar identificar quais variáveis são básicas (aqueles com um “1” na matriz) e quais são livres (são aquelas que não têm um “1” e podem assumir qualquer valor).

Passo 2

Vamos traduzir a matriz de volta para equações:
  1. (essa última linha não traz nenhuma informação nova)
Explicação: A última linha significa que não há restrição adicional, então podemos ignorá-la. As outras três linhas representam as nossas equações principais.

Passo 3

Vamos identificar quais variáveis são básicas e quais são livres. Olhando para as equações:
  • é uma variável básica porque ela aparece na primeira equação com um coeficiente de 1.
  • é básica na segunda equação.
  • é básica na terceira equação.
  • e são variáveis livres porque não têm um “1” isolado em nenhuma das equações.
Teoria aplicada: Em sistemas lineares, variáveis básicas dependem das variáveis livres. As variáveis livres podem assumir qualquer valor real, e as básicas são expressas em termos delas.

Passo 4

Vamos atribuir parâmetros para as variáveis livres. Geralmente, usamos letras como e :
  • (onde é qualquer número real)
  • (onde é qualquer número real)
Explicação: Isso ajuda a expressar todas as soluções possíveis do sistema em termos desses parâmetros.

Passo 5

Agora, vamos expressar as variáveis básicas em termos das livres usando as equações que temos.
Primeira equação:
x1 - 6x2 + 2x5 = -2 x1 = -2 + 6x2 - 2x5 x1 = -2 + 6t - 2s
Segunda equação:
x3 + 4x5 = 7 x3 = 7 - 4x5 x3 = 7 - 4s
Terceira equação:
x4 + 5x5 = 8 x4 = 8 - 5x5 x4 = 8 - 5s
Teoria aplicada: Isolamos cada variável básica para expressá-las em termos das variáveis livres, facilitando a descrição de todas as soluções possíveis.

Passo 6

Agora, vamos resumir as soluções encontradas:
x1 = -2 + 6t - 2s x2 = t x3 = 7 - 4s x4 = 8 - 5s x5 = s
Explicação: Aqui, e são parâmetros que podem ser quaisquer números reais. Isso significa que o sistema tem infinitas soluções, dependendo dos valores que atribuirmos a e .

Resposta

As soluções do sistema são todas as quintuplas x1 = -2 + 6t - 2s x2 = t x3 = 7 - 4s x4 = 8 - 5s x5 = s dadas por:
onde e são números reais quaisquer.

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