Em cada caso, suponha que a matriz aumentada de um sistema foi transformada, usando operações elementares nas linhas, na matriz escalonada reduzida dada. Resolva o sistema correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que foi transformado numa matriz escalonada reduzida. A matriz que temos é:
O que isso significa? Cada linha da matriz representa uma equação do sistema, e cada coluna antes da barra é uma variável. Vamos chamar as variáveis de . O conteúdo da matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente resolução de sistemas lineares usando matrizes escalonadas. Vamos precisar identificar quais variáveis são básicas (aqueles com um “1” na matriz) e quais são livres (são aquelas que não têm um “1” e podem assumir qualquer valor).
Passo 2
Vamos traduzir a matriz de volta para equações:
(essa última linha não traz nenhuma informação nova)
Explicação: A última linha significa que não há restrição adicional, então podemos ignorá-la. As outras três linhas representam as nossas equações principais.
Passo 3
Vamos identificar quais variáveis são básicas e quais são livres. Olhando para as equações:
é uma variável básica porque ela aparece na primeira equação com um coeficiente de 1.
é básica na segunda equação.
é básica na terceira equação.
e são variáveis livres porque não têm um “1” isolado em nenhuma das equações.
Teoria aplicada: Em sistemas lineares, variáveis básicas dependem das variáveis livres. As variáveis livres podem assumir qualquer valor real, e as básicas são expressas em termos delas.
Passo 4
Vamos atribuir parâmetros para as variáveis livres. Geralmente, usamos letras como e :
(onde é qualquer número real)
(onde é qualquer número real)
Explicação: Isso ajuda a expressar todas as soluções possíveis do sistema em termos desses parâmetros.
Passo 5
Agora, vamos expressar as variáveis básicas em termos das livres usando as equações que temos.
Teoria aplicada: Isolamos cada variável básica para expressá-las em termos das variáveis livres, facilitando a descrição de todas as soluções possíveis.
Explicação: Aqui, e são parâmetros que podem ser quaisquer números reais. Isso significa que o sistema tem infinitas soluções, dependendo dos valores que atribuirmos a e .
Resposta
As soluções do sistema são todas as quintuplas x1 = -2 + 6t - 2s x2 = t x3 = 7 - 4s x4 = 8 - 5s x5 = s dadas por: