Encontre todos os valores de a e b, se houver, para os quais o sistema
(a+1) x+ a y-z & =-1 (a+1) y+z & =1 (a+1) x+(3 a+2) y+z & =-1-b
admite infinitas soluções.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis ( x, y, z) que dependem dos parâmetros a e b. Queremos encontrar os valores de a e b para os quais esse sistema tem infinitas soluções. Para isso, precisamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e condições para que eles tenham soluções infinitas.

Passo 2

Vamos começar escrevendo o sistema na forma matricial aumentada:
a+1 & a & -1 & | & -1 0 & a+1 & 1 & | & 1 a+1 & 3a+2 & 1 & | & -1 - b
Esse formato facilita a aplicação de operações de linha para simplificar o sistema.

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde possamos identificar condições para que o sistema seja indeterminado (infinitas soluções). Vamos começar subtraindo a primeira linha da terceira para eliminar o termo (a+1)x da terceira equação:
R3 = R3 - R1 a+1 & a & -1 & | & -1 0 & a+1 & 1 & | & 1 0 & 2a+2 & 2 & | & -b

Passo 4

Agora, vamos simplificar a terceira linha dividindo por 2:
R3 = R32 a+1 & a & -1 & | & -1 0 & a+1 & 1 & | & 1 0 & a+1 & 1 & | & -b2

Passo 5

Observamos que a segunda e a terceira linhas estão muito semelhantes. Para que o sistema tenha infinitas soluções, essas duas linhas devem ser equivalentes, ou seja, uma deve ser múltiplo da outra. Isso nos leva à condição:
1 = -b2 Rightarrow b = -2

Passo 6

Além disso, para que haja infinitas soluções, o determinante do sistema deve ser zero. Calculando o determinante da matriz dos coeficientes:
det = (a+1)[(a+1)(1) - (1)(a+1)] - a[0 - (1)(a+1)] + (-1)[0 - (a+1)(a+1)] = 0
Simplificando, vemos que isso sempre vale para qualquer a, desde que b = -2.

Resposta

Os valores para os quais o sistema admite infinitas soluções são b = -2 e qualquer valor de a.

Exercícios relacionados

Classifique cada uma das afirmações abaixo em falsa (F) ou verdadeira (V), justificando sua resposta:
Sejam A uma matriz m times n e B uma matriz m times 1. Se A X=B tem infinitas soluções, A X=0 também tem infinitas soluções.
Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
c2 x+y+4 z+w=-5 2 x+8 y-10 z+8 w=2 -9 z+2 w=2 4 x+y+6 z+5 w=-3 4 x+5 y-8 z+8 w=-3
Em cada caso, suponha que a matriz aumentada de um sistema foi transformada, usando operações elementares nas linhas, na matriz escalonada reduzida dada. Resolva o sistema correspondente.
[ccccc|c1 & -6 & 0 & 0 & 2 & -2 0 & 0 & 1 & 0 & 4 & 7 0 & 0 & 0 & 1 & 5 & 8 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0]
Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
c1 x+5 y+4 z-13 w=3 3 x-1 y+2 z+5 w=2 2 x+2 y+3 z-4 w=1