Encontre todos os valores de e , se houver, para os quais o sistema
admite infinitas soluções.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis (x, y, z) que dependem dos parâmetros a e b. Queremos encontrar os valores de a e b para os quais esse sistema tem infinitas soluções. Para isso, precisamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e condições para que eles tenham soluções infinitas.
Passo 2
Vamos começar escrevendo o sistema na forma matricial aumentada:
Esse formato facilita a aplicação de operações de linha para simplificar o sistema.
Passo 3
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde possamos identificar condições para que o sistema seja indeterminado (infinitas soluções). Vamos começar subtraindo a primeira linha da terceira para eliminar o termo (a+1)x da terceira equação:
Observamos que a segunda e a terceira linhas estão muito semelhantes. Para que o sistema tenha infinitas soluções, essas duas linhas devem ser equivalentes, ou seja, uma deve ser múltiplo da outra. Isso nos leva à condição:
1 = -b2 Rightarrow b = -2
Passo 6
Além disso, para que haja infinitas soluções, o determinante do sistema deve ser zero. Calculando o determinante da matriz dos coeficientes: