Classifique cada uma das afirmações abaixo em falsa (F) ou verdadeira (V), justificando sua resposta:
Um sistema linear com quatro equações e três variáveis pode ter uma única solução.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A afirmação é: “Um sistema linear com quatro equações e três variáveis pode ter uma única solução.” Estamos falando de sistemas lineares, que envolvem equações de primeiro grau com várias incógnitas. Precisamos decidir se essa afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar nossa resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória sobre o que significa ter mais equações que variáveis. Aqui, temos 4 equações e 3 variáveis. Geralmente, quando temos mais equações do que variáveis, pensamos que o sistema pode ser sobre-determinado, o que muitas vezes leva a nenhuma solução ou infinitas soluções. Mas será que sempre é assim?

Passo 3

Para que um sistema tenha uma única solução, as equações precisam ser independentes e consistentes. Isso significa que nenhuma equação pode ser obtida a partir das outras e que todas as equações se cruzam em um único ponto no espaço das variáveis.

Passo 4

Mesmo tendo mais equações que variáveis, é possível que as equações adicionais não acrescentem novas restrições ao sistema. Se as quatro equações se cruzarem exatamente no mesmo ponto, o sistema terá uma única solução. Isso acontece quando as equações são compatíveis e não estão redundantes além do ponto de interseção.

Passo 5

Vamos pensar em um exemplo simples:
x + y + z = 6 2x + 2y + 2z = 12 x - y + z = 4 3x + 3y + 3z = 18
Aqui, a segunda e a quarta equações são múltiplos das primeiras, o que significa que na verdade temos apenas duas equações independentes. Portanto, o sistema pode ter infinitas soluções ou uma única, dependendo das outras equações. Se todas as quatro equações forem consistentes e independentes de certa forma, o sistema pode sim ter uma única solução.

Resposta

Verdadeira (V). Um sistema linear com quatro equações e três variáveis pode ter uma única solução quando as equações são independentes e consistentes, fazendo com que todas se intersectem em um único ponto.

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