Para cada um dos casos abaixo, encontre pelo menos um valor de
tal que
:
, com
e
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos encontrar um valor
no intervalo
que satisfaça a equação
. Isso envolve o Teorema do Valor Médio, que é um conceito de cálculo que relaciona a derivada de uma função à variação média da função no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
e
, onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a variação média da função no intervalo
:
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar a derivada
da função
:
A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema do Valor Médio, que nos diz que existe pelo menos um valor
no intervalo
tal que:
Então, resolvemos a equação para
:
Passo 6
Resolvendo a equação
:
Passo 7
Como
deve estar no intervalo
, descartamos
. Portanto, temos:
Resposta
Um valor de
que satisfaz a condição é
.