Para cada um dos casos abaixo, encontre pelo menos um valor de c em (a, b) tal que f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a): f(x) = x + 1/x, com a = 1/2 e b = 2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar um valor no intervalo que satisfaça a equação . Isso envolve o Teorema do Valor Médio, que é um conceito de cálculo que relaciona a derivada de uma função à variação média da função no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular e , onde e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a variação média da função no intervalo :

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a derivada da função :
A derivada de é e a derivada de é . Então:

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema do Valor Médio, que nos diz que existe pelo menos um valor no intervalo tal que:
Então, resolvemos a equação para :

Passo 6

Resolvendo a equação :

Passo 7

Como deve estar no intervalo , descartamos . Portanto, temos:

Resposta

Um valor de que satisfaz a condição é .

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