Encontre todas as primitivas em cada caso
integral 1x raizx^2-1 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar todas as primitivas (antiderivadas) da função . Para resolver essa integral, vamos usar substituição trigonométrica, que é uma técnica útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios quadráticos.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Observando a expressão x = sec(theta) , percebemos que ela se assemelha à identidade trigonométrica . Então, vamos definir:

Passo 3

Com essa substituição, precisamos também encontrar dx = sec(theta) tan(theta) dtheta em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir integral 1x raizx^2-1 dx = integral 1sec(theta) raizsec^2(theta)-1 cdot sec(theta) tan(theta) dtheta e na integral original:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
raizsec^2(theta)-1 = tan(theta)
Substituindo na integral:
integral 1sec(theta) tan(theta) cdot sec(theta) tan(theta) dtheta = integral 1 , dtheta

Passo 6

A integral agora ficou muito simples:
integral 1 , dtheta = theta + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original theta = arcsec(x) . Lembrando que fizemos a substituição theta + C = arcsec(x) + C , então:
Portanto, a antiderivada em termos de é:

Resposta

A primitiva da função é , onde é a constante de integração.

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