Encontre todas as primitivas em cada caso
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar todas as primitivas (antiderivadas) da função
. Para resolver essa integral, vamos usar substituição trigonométrica, que é uma técnica útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios quadráticos.
Passo 2
Vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Observando a expressão
, percebemos que ela se assemelha à identidade trigonométrica
. Então, vamos definir:
Passo 3
Com essa substituição, precisamos também encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da integral:
Substituindo na integral:
Passo 6
A integral agora ficou muito simples:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos a substituição
, então:
Portanto, a antiderivada em termos de
é:
Resposta
A primitiva da função é , onde
é a constante de integração.