Calcule as integrais indefinidas a seguir:
integral 1raizx^2+9 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse tipo de integral envolve funções que têm uma expressão dentro da raiz quadrada no formato . Para resolver, vamos usar uma substituição trigonométrica.

Passo 2

Identificamos que a expressão dentro da raiz é . Aqui, , então . A substituição trigonométrica apropriada para é . Portanto, vamos deixar .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dx = 3 sec^2 theta , dtheta em relação a para substituir na integral. Diferenciando ambos os lados:

Passo 4

Substituímos integral 1raiz(3 tan theta)^2 + 9 cdot 3 sec^2 theta , dtheta = integral 3 sec^2 thetaraiz9 tan^2 theta + 9 , dtheta e na integral original:

Passo 5

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiz9 tan^2 theta + 9 = raiz9 (tan^2 theta + 1) = raiz9 sec^2 theta = 3 sec theta
Então, a integral fica:
integral 3 sec^2 theta3 sec theta , dtheta = integral sec theta , dtheta

Passo 6

A integral de integral sec theta , dtheta = ln |sec theta + tan theta| + C é conhecida:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original tan theta = x3 . Sabemos que sec theta = raiz1 + tan^2 theta = raiz1 + (x3)^2 = raizx^2 + 93 , então:
E:

Passo 8

Substituindo ln | raizx^2 + 93 + x3 | + C = ln | raizx^2 + 9 + x3 | + C e ln |raizx^2 + 9 + x| + C na expressão da integral:
Podemos simplificar para:

Resposta

integral 1raizx^2+9 , dx = ln |raizx^2 + 9 + x| + C

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