Em cada um dos casos abaixo, sendo a matriz aumentada de um sistema (com ), o que se pode dizer sobre as soluções desse sistema?
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz aumentada de um sistema linear e pede para a gente descobrir o que pode ser dito sobre as soluções desse sistema. Estamos lidando com Álgebra Linear, mais especificamente com a análise de sistemas lineares usando matrizes aumentadas. Para resolver isso, vamos analisar o posto da matriz dos coeficientes e o posto da matriz aumentada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes e a matriz aumentada. A matriz dos coeficientes é formada pelas três primeiras colunas de :
E a matriz aumentada é completa, incluindo a última coluna dos termos constantes.

Passo 3

Observando a matriz dos coeficientes, percebemos que a terceira coluna é uma múltipla da segunda coluna, multiplicada por . Isso significa que as colunas são linearmente dependentes, ou seja, o posto da matriz dos coeficientes é no máximo 2.

Passo 4

Agora, vamos verificar o posto da matriz aumentada. Se adicionarmos a coluna dos termos constantes, precisamos ver se essa coluna também é uma combinação linear das colunas anteriores. Como a terceira coluna já é vezes a segunda, a dependência linear pode se manter ou não, dependendo dos termos constantes.

Passo 5

Se o posto da matriz dos coeficientes for igual ao posto da matriz aumentada, o sistema é compatível. Caso contrário, é incompatível. Além disso, se o posto for menor que o número de variáveis, o sistema tem infinitas soluções.

Passo 6

Como o posto da matriz dos coeficientes é no máximo 2, se o posto da matriz aumentada também for 2, o sistema terá infinitas soluções. Se o termo constante der uma condição que aumente o posto para 3, o sistema será incompatível.

Resposta

Portanto, as soluções do sistema são:
  • Se os termos constantes não introduzirem dependência adicional, o sistema possui infinitas soluções.
  • Se os termos constantes criarem uma nova equação independente, o sistema não terá solução.

Exercícios relacionados

Verifique se cada uma das seguintes afirmaçōes é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(b) Sejam e matrizes tais que é inversível. Então, é inversível.
Calcule a inversa da matriz tal que , onde
Dada a matriz , abaixo, encontre tal que o sistema não tenha solução. Indique um procedimento para encontrar tal no caso geral de uma matrix com número de posições pivôs menor que .
.
Seja . Encontre a inversa de e escreva como um produto de matrizes elementares.