Dada a matriz , abaixo, encontre tal que o sistema não tenha solução. Indique um procedimento para encontrar tal no caso geral de uma matrix com número de posições pivôs menor que . .
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma matriz tal que o sistema não tenha solução. A matéria envolvida aqui é sistemas de equações lineares e matrizes. Para resolver, vamos precisar entender sobre espaço coluna, posições pivôs e como eles influenciam a existência de soluções para sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a matriz que foi dada:
Nosso objetivo é encontrar uma matriz tal que não exista nenhum vetor que satisfaça a equação .
Passo 3
Para que o sistema tenha solução, precisa estar no espaço coluna de . O espaço coluna é basicamente o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de . Se não estiver nesse espaço, não temos solução.
Passo 4
Vamos identificar as posições pivôs de . As posições pivôs são os primeiros elementos não nulos em cada linha quando a matriz está na forma escalonada. Supondo que tenha menos pivôs que o número de linhas (no caso, 4 linhas), isso indica que o espaço coluna de não cobre todo o espaço . Então, existe alguma fora desse espaço.
Passo 5
Para encontrar uma que não esteja no espaço coluna de , podemos escolher um vetor que não seja combinação linear das colunas de . Por exemplo, podemos resolver o sistema homogêneo associando uma combinação linear das colunas igual a e encontrar um que não satisfaz essa igualdade.
Resposta
Uma matriz que faz com que o sistema não tenha solução é qualquer vetor que não pertença ao espaço coluna de . No caso geral de uma matriz com número de posições pivôs menor que , para encontrar tal , basta escolher um vetor que não seja combinação linear das colunas de .