Dada a matriz , abaixo, encontre tal que o sistema não tenha solução. Indique um procedimento para encontrar tal no caso geral de uma matrix com número de posições pivôs menor que .
.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma matriz tal que o sistema não tenha solução. A matéria envolvida aqui é sistemas de equações lineares e matrizes. Para resolver, vamos precisar entender sobre espaço coluna, posições pivôs e como eles influenciam a existência de soluções para sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a matriz que foi dada:
Nosso objetivo é encontrar uma matriz tal que não exista nenhum vetor que satisfaça a equação .

Passo 3

Para que o sistema tenha solução, precisa estar no espaço coluna de . O espaço coluna é basicamente o conjunto de todas as combinações lineares das colunas de . Se não estiver nesse espaço, não temos solução.

Passo 4

Vamos identificar as posições pivôs de . As posições pivôs são os primeiros elementos não nulos em cada linha quando a matriz está na forma escalonada. Supondo que tenha menos pivôs que o número de linhas (no caso, 4 linhas), isso indica que o espaço coluna de não cobre todo o espaço . Então, existe alguma fora desse espaço.

Passo 5

Para encontrar uma que não esteja no espaço coluna de , podemos escolher um vetor que não seja combinação linear das colunas de . Por exemplo, podemos resolver o sistema homogêneo associando uma combinação linear das colunas igual a e encontrar um que não satisfaz essa igualdade.

Resposta

Uma matriz que faz com que o sistema não tenha solução é qualquer vetor que não pertença ao espaço coluna de . No caso geral de uma matriz com número de posições pivôs menor que , para encontrar tal , basta escolher um vetor que não seja combinação linear das colunas de .

Exercícios relacionados

Em cada um dos casos abaixo, sendo a matriz aumentada de um sistema (com ), o que se pode dizer sobre as soluções desse sistema?
(d)
Verifique se cada uma das seguintes afirmaçōes é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(b) Sejam e matrizes tais que é inversível. Então, é inversível.
Seja . Encontre a inversa de e escreva como um produto de matrizes elementares.
Em cada um dos casos abaixo, sendo a matriz aumentada de um sistema (com ), o que se pode dizer sobre as soluções desse sistema?
(a)