Calcule a inversa da matriz tal que , onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a inversa da matriz de modo que . Aqui, e são matrizes conhecidas. Vamos precisar de conhecimentos sobre matrizes, multiplicação de matrizes e a matriz inversa. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa . Para encontrar , podemos reescrever essa equação como . Isso porque, se multiplicarmos ambos os lados por (a inversa de ), teremos .

Passo 3

Agora, vamos calcular a inversa de , ou seja, . Para isso, usamos a fórmula da matriz inversa, que só existe se a matriz for invertível (determinante diferente de zero). Vamos calcular o determinante de para confirmar se podemos invertê-la.

Passo 4

Calculando o determinante de :
Depois de calcular, descobrimos que o determinante de é diferente de zero, então é invertível.

Passo 5

Com a certeza de que tem inversa, vamos calcular . Esse cálculo pode ser feito usando o método da matriz adjunta ou métodos computacionais, dependendo da complexidade. Supondo que já temos , vamos seguir para o próximo passo.

Passo 6

Agora que temos , podemos encontrar usando a relação . Multiplicamos a matriz pela inversa de para obter .

Passo 7

Com determinada, queremos encontrar a inversa de , ou seja, . Sabemos que , seguindo a regra de que .

Passo 8

Para finalizar, calculamos a inversa de , . Como fizemos com , confirmamos que também é invertível (determinante diferente de zero) e calculamos .

Resposta

A inversa da matriz é:

Exercícios relacionados

Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(b) Se é uma solução de e é uma solução de então é solução de .
Os conjuntos abaixo são espaços vetoriais? Prove.
, com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais de .
Verifique se cada uma das seguintes afirmaçōes é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(b) Sejam e matrizes tais que é inversível. Então, é inversível.
Em cada um dos casos abaixo, sendo a matriz aumentada de um sistema (com ), o que se pode dizer sobre as soluções desse sistema?
(d)