Verifique se cada uma das seguintes afirmaçōes é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(b) Sejam A e B matrizes n times n tais que B A é inversível. Então, A é inversível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está dizendo o seguinte: temos duas matrizes quadradas e de tamanho e, se o produto é inversível (ou seja, tem uma matriz inversa), então queremos saber se isso garante que também é inversível. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes inversíveis e como elas se comportam quando multiplicamos duas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz M cdot M^-1 = M^-1 cdot M = I é inversível se existe outra matriz BA cdot C = I tal que:
onde é a matriz identidade.
Agora, se é inversível, então existe uma matriz tal que:
Isso significa que tem um “inverso à direita” .

Passo 3

Vamos analisar isso mais a fundo. A equação B cdot (A cdot C) = I implica que:
Isso mostra que tem um inverso à direita, que é . Em matrizes quadradas, se uma matriz tem um inverso à direita, ela também tem um inverso à esquerda e, portanto, é inversível. Então, concluímos que é inversível.

Passo 4

Agora que sabemos que B^-1 cdot B cdot A cdot C = B^-1 cdot I é inversível, podemos usar essa informação para descobrir sobre I cdot A cdot C = B^-1 . Se A cdot C = B^-1 é inversível, podemos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de à esquerda:
Simplificando, temos:
Ou seja:
Isso mostra que tem um inverso à direita, que é . Assim como antes, em matrizes quadradas, isso implica que também é inversível.

Resposta

Verdadeira. Se é inversível, então tanto quanto são inversíveis.

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