Verifique se cada uma das seguintes afirmaçōes é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(b) Sejam
e
matrizes
tais que
é inversível. Então,
é inversível.
(b) Sejam
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está dizendo o seguinte: temos duas matrizes quadradas
e
de tamanho
e, se o produto
é inversível (ou seja, tem uma matriz inversa), então queremos saber se isso garante que
também é inversível. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes inversíveis e como elas se comportam quando multiplicamos duas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz
é inversível se existe outra matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade.
Agora, se
é inversível, então existe uma matriz
tal que:
Isso significa que
tem um “inverso à direita”
.
Passo 3
Vamos analisar isso mais a fundo. A equação
implica que:
Isso mostra que
tem um inverso à direita, que é
. Em matrizes quadradas, se uma matriz tem um inverso à direita, ela também tem um inverso à esquerda e, portanto, é inversível. Então, concluímos que
é inversível.
Passo 4
Agora que sabemos que
é inversível, podemos usar essa informação para descobrir sobre
. Se
é inversível, podemos multiplicar ambos os lados da equação
pela inversa de
à esquerda:
Simplificando, temos:
Ou seja:
Isso mostra que
tem um inverso à direita, que é
. Assim como antes, em matrizes quadradas, isso implica que
também é inversível.
Resposta
Verdadeira. Se
é inversível, então tanto
quanto
são inversíveis.