Verifique se cada uma das seguintes afirmaçōes é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(b) Sejam e matrizes tais que é inversível. Então, é inversível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está dizendo o seguinte: temos duas matrizes quadradas e de tamanho e, se o produto é inversível (ou seja, tem uma matriz inversa), então queremos saber se isso garante que também é inversível. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes inversíveis e como elas se comportam quando multiplicamos duas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz é inversível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade.
Agora, se é inversível, então existe uma matriz tal que:
Isso significa que tem um “inverso à direita” .

Passo 3

Vamos analisar isso mais a fundo. A equação implica que:
Isso mostra que tem um inverso à direita, que é . Em matrizes quadradas, se uma matriz tem um inverso à direita, ela também tem um inverso à esquerda e, portanto, é inversível. Então, concluímos que é inversível.

Passo 4

Agora que sabemos que é inversível, podemos usar essa informação para descobrir sobre . Se é inversível, podemos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de à esquerda:
Simplificando, temos:
Ou seja:
Isso mostra que tem um inverso à direita, que é . Assim como antes, em matrizes quadradas, isso implica que também é inversível.

Resposta

Verdadeira. Se é inversível, então tanto quanto são inversíveis.

Exercícios relacionados

Calcule a inversa da matriz tal que , onde
Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(b) Se é uma solução de e é uma solução de então é solução de .
Em cada um dos casos abaixo, sendo a matriz aumentada de um sistema (com ), o que se pode dizer sobre as soluções desse sistema?
(d)
Dada a matriz , abaixo, encontre tal que o sistema não tenha solução. Indique um procedimento para encontrar tal no caso geral de uma matrix com número de posições pivôs menor que .
.