Verifique se cada uma das seguintes afirmaçōes é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
(b) Sejam e matrizes tais que é inversível. Então, é inversível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está dizendo o seguinte: temos duas matrizes quadradas e de tamanho e, se o produto é inversível (ou seja, tem uma matriz inversa), então queremos saber se isso garante que também é inversível. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre matrizes inversíveis e como elas se comportam quando multiplicamos duas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz é inversível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade.
Agora, se é inversível, então existe uma matriz tal que:
Isso significa que tem um “inverso à direita” .
Passo 3
Vamos analisar isso mais a fundo. A equação implica que:
Isso mostra que tem um inverso à direita, que é . Em matrizes quadradas, se uma matriz tem um inverso à direita, ela também tem um inverso à esquerda e, portanto, é inversível. Então, concluímos que é inversível.
Passo 4
Agora que sabemos que é inversível, podemos usar essa informação para descobrir sobre . Se é inversível, podemos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de à esquerda:
Simplificando, temos:
Ou seja:
Isso mostra que tem um inverso à direita, que é . Assim como antes, em matrizes quadradas, isso implica que também é inversível.
Resposta
Verdadeira. Se é inversível, então tanto quanto são inversíveis.