Em cada um dos casos abaixo, sendo a matriz aumentada de um sistema (com ), o que se pode dizer sobre as soluções desse sistema?
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz aumentada que representa um sistema de equações lineares. Nosso objetivo é descobrir que tipo de soluções esse sistema possui. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como o escalonamento de matrizes e a análise de consistência dos sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz aumentada. Ela junta os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações em uma única matriz. No nosso caso, a matriz aumentada é:
Aqui, temos duas equações com três variáveis.
Passo 3
Para saber sobre as soluções do sistema, precisamos ver quantas equações e variáveis temos. Temos 2 equações e 3 variáveis. Geralmente, se o número de variáveis é maior que o de equações, o sistema tende a ter infinitas soluções, porque sobra uma variável livre.
Passo 4
Vamos verificar se as equações são independentes. Isso significa que nenhuma das equações é um múltiplo da outra. Se forem independentes, realmente teremos infinitas soluções. Se forem dependentes, pode haver infinitas soluções ou nenhuma, dependendo dos termos constantes.
Passo 5
Como não temos valores específicos para os e , vamos considerar o cenário geral. Assumindo que as duas equações são independentes, o sistema terá uma solução com uma variável livre, levando a infinitas soluções.
Passo 6
Resumindo, com duas equações independentes e três variáveis, o sistema não está sobrecarregado nem inconsistente. Portanto, temos infinitas soluções.