Mostre que o conjunto das matrizes singulares 2 por 2 também não é um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto das matrizes singulares 2 por 2 não forma um espaço vetorial. Isso está ligado à matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e propriedades das matrizes. Para resolver, vamos precisar entender o que são matrizes singulares e o que define um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz singular. Uma matriz 2 por 2 é chamada de singular quando o seu determinante é zero. Ou seja, para uma matriz
, ela é singular se
.
Passo 3
Agora, o que é um espaço vetorial? É um conjunto de vetores que satisfaz certas propriedades, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de elemento zero, entre outros. Ou seja, se você pegar dois vetores (ou matrizes, no nosso caso) nesse conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto. O mesmo vale se você multiplicar por um número qualquer.
Passo 4
Vamos verificar se o conjunto das matrizes singulares está fechado sob adição. Se somarmos duas matrizes singulares, o resultado pode não ser singular. Por exemplo:
Seja
e
. Ambas são matrizes singulares porque
e
.
Agora, somando
. O determinante dessa soma é
, que não é zero. Ou seja,
não é singular.
Resposta
Como o conjunto das matrizes singulares 2 por 2 não é fechado sob adição, ele não satisfaz as propriedades de um espaço vetorial. Portanto, o conjunto das matrizes singulares 2 por 2 não é um espaço vetorial.