Em cada um dos casos abaixo, sendo a matriz aumentada de um sistema (com ), o que se pode dizer sobre as soluções desse sistema?
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Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo! A gente tem uma matriz aumentada de um sistema linear, onde os elementos da última coluna são todos zeros. Nosso objetivo é entender quais são as possíveis soluções desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas lineares homogêneos e soluções triviais e não triviais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz aumentada representa um sistema de equações lineares. No nosso caso, a matriz é:
Essa matriz corresponde ao sistema:

Passo 3

Note que todas as constantes à direita das equações são zero. Isso caracteriza o sistema como um sistema homogêneo. Um sistema homogêneo sempre tem pelo menos a solução trivial, que é quando todas as variáveis são iguais a zero.

Passo 4

Mas não para por aí! Dependendo das equações, o sistema pode ter infinitas soluções. Isso acontece quando as equações são dependentes, ou seja, uma pode ser obtida a partir de combinações das outras. Matemáticamente, isso está relacionado ao posto da matriz dos coeficientes.

Passo 5

Se o posto da matriz dos coeficientes (a parte de sem a última coluna) for igual ao número de variáveis, então a única solução é a trivial. Porém, se o posto for menor que o número de variáveis, existem infinitas soluções, pois teremos variáveis livres que podem assumir qualquer valor.

Passo 6

Como não temos valores específicos para os coeficientes , não podemos determinar o posto exato. Portanto, a conclusão geral é que o sistema homogêneo tem pelo menos a solução trivial e, dependendo dos coeficientes, pode ter infinitas soluções.

Resposta

Como a matriz aumentada representa um sistema linear homogêneo (todas as constantes são zero), esse sistema sempre tem pelo menos a solução trivial (onde todas as variáveis são zero). Além disso, dependendo dos coeficientes, o sistema pode ter infinitas soluções.

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(a)
Quais dos seguintes subconjuntos de são subespaços de ?
O plano dos vetores com primeira componente .
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