Derive as funções dos itens abaixo (se for conveniente, use derivação logarítmica)
  1. f(x) = e^(raiz(x)) * ln(raiz(x)), x > 0
  2. f(x) = ln(x * raiz(x^2 + 1)), x > 0
  3. f(x) = (e^x)^x, x em R
  4. f(x) = (x^x)^x, x > 0
  5. f(x) = (sen(x))^(arcsen(x)), x in (0,1)
  6. f(x) = ln(raiz(x + 1) / (x - 1)^3), x > 1

Passo 1

Vamos derivar a função onde . Para isso, precisamos usar as regras de derivação de funções exponenciais, logarítmicas e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que . Então, a função fica:

Passo 3

Reescrevendo para facilitar a derivação, temos:

Passo 4

Para derivar essa função, usamos a regra do produto. Se , então .
Aqui, e .

Passo 5

Vamos derivar :

Passo 6

Agora, vamos derivar :
Usando a regra da cadeia, onde , temos:
Então,

Passo 7

Aplicando a regra do produto:

Passo 8

Podemos fatorar para simplificar:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Um dos objetivos dessa pergunta é o desenvolvimento da redação em matemática. Procure escrever a resposta como se estivesse dando uma explicação em um livro de matemática, antes de ler o gabarito. O gabarito apresenta uma possibilidade para a redação dessa resposta, mas não a única. Tente fazer da sua maneira:
f: R -> R e g: R -> R são duas funções inversíveis. Discuta a inversibilidade de f(g).
f(x) é uma função de classe C^1 em R. Sabe-se que f(0)=1, f(1)=-3, f'(0)=-2 e f'(1) = raiz(2). Defina y = g(x) = f(x) + x. Discuta a existência de uma inversa local de g em vizinhança de x = 0. Calcule (g^-1)'(1).
(!!) Considere a função:
f(x, y) = (x^3 - y^3 + x*y*(x + y)) / (x^2 + y^2) se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0 se (x, y) = (0, 0)
g) Calcule D_v f(0,0), sendo v = (raiz(2)/2, raiz(2)/2).
Em cada um dos casos abaixo, verifique se a função dada é diferenciável na origem:
(d) f(x, y) = { x*y^2 / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) }