Derive as funções dos itens abaixo (se for conveniente, use derivação logarítmica)
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Passo 1
Vamos derivar a função
onde
. Para isso, precisamos usar as regras de derivação de funções exponenciais, logarítmicas e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
. Então, a função fica:
Passo 3
Reescrevendo para facilitar a derivação, temos:
Passo 4
Para derivar essa função, usamos a regra do produto. Se
, então
.
Aqui,
e
.
Passo 5
Vamos derivar
:
Passo 6
Agora, vamos derivar
:
Usando a regra da cadeia, onde
, temos:
Então,
Passo 7
Aplicando a regra do produto:
Passo 8
Podemos fatorar
para simplificar:
Resposta
A derivada da função é:
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Um dos objetivos dessa pergunta é o desenvolvimento da redação em matemática. Procure escrever a resposta como se estivesse dando uma explicação em um livro de matemática, antes de ler o gabarito. O gabarito apresenta uma possibilidade para a redação dessa resposta, mas não a única. Tente fazer da sua maneira:
e
são duas funções inversíveis. Discuta a inversibilidade de
.
(!!) Considere a função:
g) Calcule
, sendo
.
Em cada um dos casos abaixo, verifique se a função dada é diferenciável na origem:
(d)
(d)