Para cada um dos casos do Problema 29, determine |A times B|. Compare o resultado com |A||B| para estimar qual dos parâmetros está associado à resposta calculando o ângulo, usando o produto escalar.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas vetores, e , e precisa calcular a magnitude (ou seja, o tamanho) do produto vetorial entre eles, que é representado por . Depois, vamos comparar esse resultado com o produto das magnitudes individuais dos vetores, , para descobrir o ângulo entre eles usando o produto escalar. Basicamente, vamos mexer com vetores, produtos vetoriais e escalares, e trigonometria para encontrar o ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores |A times B| = |A||B|sin(theta) e resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A magnitude desse produto vetorial é dada por:
Onde é o ângulo entre e . Vamos supor que temos os valores das magnitudes de e e queremos encontrar .

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar, que é dado por:
A cdot B = |A||B|cos(theta)
Esse produto escalar nos ajuda a encontrar o ângulo entre os dois vetores. Depois de encontrarmos , podemos usar a relação do produto vetorial para achar .

Passo 4

Vamos fazer um exemplo para ficar mais claro. Suponha que:
|A| = 5 e |B| = 3
E o produto escalar cos(theta) = A cdot B|A||B| = 125 times 3 = 1215 = 0,8 é 12. Primeiro, encontramos o ângulo theta = arccos(0,8) approx 36,87^circ :
Então,

Passo 5

Agora que temos o ângulo, podemos calcular a magnitude do produto vetorial:
|A times B| = |A||B|sin(theta) = 5 times 3 times sin(36,87^circ)
Calculando o seno de sin(36,87^circ) approx 0,6 :
|A times B| = 5 times 3 times 0,6 = 9
Então,

Resposta

A magnitude do produto vetorial é igual a 9, que é menor que o produto das magnitudes individuais . Isso indica que o ângulo entre os vetores é de aproximadamente .

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