Calcule a distância entre o eixo de uma espira com corrente i e um ponto onde o campo magnético possui a metade da intensidade do campo magnético medido no centro da espira. A resposta deve ser dada em função de R (raio da espira).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física sobre campo magnético. O enunciado pede para calcular a distância entre o eixo de uma espira com corrente e um ponto onde o campo magnético é metade do campo magnético no centro da espira. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas que descrevem o campo magnético no centro da espira e ao longo do seu eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo magnético no centro de uma espira circular. A fórmula para isso é:
Bcentro = mu0 I2 R
onde:
  • é a permeabilidade do vácuo,
  • é a corrente na espira,
  • é o raio da espira.
Essa fórmula nos dá a intensidade do campo magnético no centro da espira.

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo magnético a uma distância B(x) = mu0 I R^22 (R^2 + x^2)^3/2 ao longo do eixo da espira. A fórmula para o campo magnético nessa posição é:
Essa expressão nos mostra como o campo magnético varia conforme aumentamos a distância do centro da espira ao longo do seu eixo.

Passo 4

O problema pede para encontrar a distância B(x) = 12 Bcentro onde o campo magnético mu0 I R^22 (R^2 + x^2)^3/2 = 12 cdot mu0 I2 R é metade do campo no centro, ou seja:
Substituindo as expressões de e , temos:

Passo 5

Podemos simplificar a equação cancelando R^22 (R^2 + x^2)^3/2 = 14 R e rearranjando os termos:
R^2 = (R^2 + x^2)^3/22 R
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 2 R^3 = (R^2 + x^2)^3/2 :
(2 R^3)^2/3 = R^2 + x^2
Elevando ambos os lados ao expoente 2^2/3 R^2 = R^2 + x^2 :
Simplificando:

Passo 7

Isolando x^2 = (2^2/3 - 1) R^2 :
x = raiz2^2/3 - 1 cdot R
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A distância x = raiz2^2/3 - 1 cdot R é dada por:

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