Se um de cada cinco motoristas que violam o regulamento de trãnsito é apreendido, qual é a probabilidade de que um motorista em particular, que comete 10 infraçōes, seja apreendido: a) Exatamente uma vez?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um motorista que cometeu 10 infrações de trânsito. Sabemos que a cada infração, a probabilidade de ele ser apreendido é de 1 em 5, ou seja, 20%. Nosso objetivo é descobrir qual é a probabilidade de ele ser apreendido exatamente uma vez dessas 10 infrações.

Passo 2

Para resolver esse tipo de problema, usamos a **Probabilidade Binomial**. Esse conceito é útil quando queremos saber a probabilidade de ocorrer um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, com uma probabilidade constante de sucesso em cada tentativa.

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é: \[ P(k) = C(n, k) \times p^k \times (1-p)^{n-k} \] Onde: - \( P(k) \) é a probabilidade de exatamente \( k \) sucessos. - \( C(n, k) \) é o número de combinações de \( n \) coisas tomadas \( k \) de cada vez. - \( p \) é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa. - \( n \) é o número total de tentativas. - \( k \) é o número de sucessos desejados.

Passo 4

Vamos identificar cada parte da fórmula com os valores do nosso problema: - \( n = 10 \) (10 infrações) - \( k = 1 \) (exatamente uma apreensão) - \( p = 0,2 \) (20% de chance de ser apreendido por infração)

Passo 5

Primeiro, calculamos o número de combinações \( C(10, 1) \): \[ C(10, 1) = \frac{10!}{1!(10-1)!} = 10 \]

Passo 6

Agora, calculamos \( p^k \): \[ 0,2^1 = 0,2 \]

Passo 7

Em seguida, calculamos \( (1-p)^{n-k} \): \[ (1-0,2)^{10-1} = 0,8^9 \approx 0,1342 \]

Passo 8

Agora, multiplicamos todos os termos para encontrar a probabilidade: \[ P(1) = 10 \times 0,2 \times 0,1342 \approx 0,2684 \]

Resposta

A probabilidade de que o motorista seja apreendido exatamente uma vez em 10 infrações é de aproximadamente **26,84%**.

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