Se um de cada cinco motoristas que violam o regulamento de trãnsito é apreendido, qual é a probabilidade de que um motorista em particular, que comete 10 infraçōes, seja apreendido: a) Exatamente uma vez?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um motorista que cometeu 10 infrações de trânsito. Sabemos que a cada infração, a probabilidade de ele ser apreendido é de 1 em 5, ou seja, 20%. Nosso objetivo é descobrir qual é a probabilidade de ele ser apreendido exatamente uma vez dessas 10 infrações.
Passo 2
Para resolver esse tipo de problema, usamos a **Probabilidade Binomial**. Esse conceito é útil quando queremos saber a probabilidade de ocorrer um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, com uma probabilidade constante de sucesso em cada tentativa.
Passo 3
A fórmula da probabilidade binomial é:
\[
P(k) = C(n, k) \times p^k \times (1-p)^{n-k}
\]
Onde:
- \( P(k) \) é a probabilidade de exatamente \( k \) sucessos.
- \( C(n, k) \) é o número de combinações de \( n \) coisas tomadas \( k \) de cada vez.
- \( p \) é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
- \( n \) é o número total de tentativas.
- \( k \) é o número de sucessos desejados.
Passo 4
Vamos identificar cada parte da fórmula com os valores do nosso problema:
- \( n = 10 \) (10 infrações)
- \( k = 1 \) (exatamente uma apreensão)
- \( p = 0,2 \) (20% de chance de ser apreendido por infração)
Passo 5
Primeiro, calculamos o número de combinações \( C(10, 1) \):
\[
C(10, 1) = \frac{10!}{1!(10-1)!} = 10
\]
Passo 6
Agora, calculamos \( p^k \):
\[
0,2^1 = 0,2
\]
Passo 7
Em seguida, calculamos \( (1-p)^{n-k} \):
\[
(1-0,2)^{10-1} = 0,8^9 \approx 0,1342
\]
Passo 8
Agora, multiplicamos todos os termos para encontrar a probabilidade:
\[
P(1) = 10 \times 0,2 \times 0,1342 \approx 0,2684
\]
Resposta
A probabilidade de que o motorista seja apreendido exatamente uma vez em 10 infrações é de aproximadamente **26,84%**.