Uma determinada peça é produzida por três fábricas, e . Sabe-se que a fábrica produz o dôbro de peças que a fábrica ; as fábricas e produzem o mesmo número de peças (durante um período de produção especificado). Sabe-se também que das peças produzidas pelas fábricas e são defeituosas, enquanto a fábrica produz de peças defeituosas. Todas as peças produzidas são colocadas em um depósito e depois uma peça é escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade de que essa peça seja defeituosa? Qual a probabilidade de que a peça sendo defeituosa, tenha sido produzida pela fábrica ? ? ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três fábricas, , e , que produzem peças. Sabemos que:
  • A fábrica produz o dobro da quantidade de peças que a produz.
  • As fábricas e produzem a mesma quantidade de peças.
  • das peças produzidas pelas fábricas e são defeituosas.
  • das peças produzidas pela fábrica são defeituosas.
Todas essas peças são colocadas em um depósito, e uma peça é escolhida aleatoriamente. A pergunta é dupla:
  1. Qual a probabilidade da peça escolhida ser defeituosa?
  2. Se a peça for defeituosa, qual a probabilidade de ela ter sido produzida por cada uma das fábricas , ou ?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Probabilidade Total e Probabilidade Condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos definir quantas peças cada fábrica produz. Como não temos um número específico, vamos usar uma variável para facilitar os cálculos.
  • Seja a quantidade de peças que a fábrica produz.
  • Então, a fábrica produz peças (o dobro de ).
  • A fábrica também produz peças.
Então, o total de peças produzidas pelas três fábricas é:

Passo 3

Agora, vamos calcular quantas peças defeituosas cada fábrica produz.
  • Fábrica : peças, com defeituosas.
ç
  • Fábrica : peças, com defeituosas.
ç
  • Fábrica : peças, com defeituosas.
ç
Total de peças defeituosas:

Passo 4

Agora, para encontrar a probabilidade de uma peça escolhida aleatoriamente ser defeituosa, usamos a fórmula da probabilidade:
úçç
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de, sabendo que a peça é defeituosa, ela ter sido produzida por cada uma das fábricas. Para isso, usamos a Probabilidade Condicional:
Onde:
  • é a probabilidade de a peça ter sido produzida pela fábrica e ser defeituosa.
Vamos calcular para cada fábrica:
  • Fábrica :
  • Fábrica :
  • Fábrica :

Resposta

A probabilidade de que uma peça escolhida aleatoriamente seja defeituosa é de 2,5%.
Se a peça for defeituosa, a probabilidade de ela ter sido produzida por:
  • Fábrica : 40%
  • Fábrica : 20%
  • Fábrica : 40%

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