Uma determinada peça é produzida por três fábricas,
e
. Sabe-se que a fábrica
produz o dôbro de peças que a fábrica
; as fábricas
e
produzem o mesmo número de peças (durante um período de produção especificado). Sabe-se também que
das peças produzidas pelas fábricas
e
são defeituosas, enquanto a fábrica
produz
de peças defeituosas. Todas as peças produzidas são colocadas em um depósito e depois uma peça é escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade de que essa peça seja defeituosa? Qual a probabilidade de que a peça sendo defeituosa, tenha sido produzida pela fábrica
?
?
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três fábricas,
,
e
, que produzem peças. Sabemos que:
- A fábrica
produz o dobro da quantidade de peças que a produz. - As fábricas
e produzem a mesma quantidade de peças. -
das peças produzidas pelas fábricas e são defeituosas. -
das peças produzidas pela fábrica são defeituosas.
Todas essas peças são colocadas em um depósito, e uma peça é escolhida aleatoriamente. A pergunta é dupla:
- Qual a probabilidade da peça escolhida ser defeituosa?
- Se a peça for defeituosa, qual a probabilidade de ela ter sido produzida por cada uma das fábricas
, ou ?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Probabilidade Total e Probabilidade Condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos definir quantas peças cada fábrica produz. Como não temos um número específico, vamos usar uma variável para facilitar os cálculos.
- Seja
a quantidade de peças que a fábrica produz. - Então, a fábrica
produz peças (o dobro de ). - A fábrica
também produz peças.
Então, o total de peças produzidas pelas três fábricas é:
Passo 3
Agora, vamos calcular quantas peças defeituosas cada fábrica produz.
- Fábrica
: peças, com defeituosas.
- Fábrica
: peças, com defeituosas.
- Fábrica
: peças, com defeituosas.
Total de peças defeituosas:
Passo 4
Agora, para encontrar a probabilidade de uma peça escolhida aleatoriamente ser defeituosa, usamos a fórmula da probabilidade:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a probabilidade de, sabendo que a peça é defeituosa, ela ter sido produzida por cada uma das fábricas. Para isso, usamos a Probabilidade Condicional:
Onde:
-
é a probabilidade de a peça ter sido produzida pela fábrica e ser defeituosa.
Vamos calcular para cada fábrica:
- Fábrica
:
- Fábrica
:
- Fábrica
:
Resposta
A probabilidade de que uma peça escolhida aleatoriamente seja defeituosa é de 2,5%.
Se a peça for defeituosa, a probabilidade de ela ter sido produzida por:
- Fábrica
: 40% - Fábrica
: 20% - Fábrica
: 40%