Uma determinada peça é produzida por três fábricas, F1, F2 e F3. Sabe-se que a fábrica F1 produz o dôbro de peças que a fábrica F2; as fábricas F2 e F3 produzem o mesmo número de peças (durante um período de produção especificado). Sabe-se também que 2 % das peças produzidas pelas fábricas F1 e F2 são defeituosas, enquanto a fábrica F3 produz 4 % de peças defeituosas. Todas as peças produzidas são colocadas em um depósito e depois uma peça é escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade de que essa peça seja defeituosa? Qual a probabilidade de que a peça sendo defeituosa, tenha sido produzida pela fábrica F1 ? F2 ? F3 ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três fábricas, F1, F2 e F3, que produzem peças. Sabemos que:
  • A fábrica F1 produz o dobro da quantidade de peças que a F2 produz.
  • As fábricas F2 e F3 produzem a mesma quantidade de peças.
  • 2% das peças produzidas pelas fábricas F1 e F2 são defeituosas.
  • 4% das peças produzidas pela fábrica F3 são defeituosas.
Todas essas peças são colocadas em um depósito, e uma peça é escolhida aleatoriamente. A pergunta é dupla:
  1. Qual a probabilidade da peça escolhida ser defeituosa?
  2. Se a peça for defeituosa, qual a probabilidade de ela ter sido produzida por cada uma das fábricas F1, F2 ou F3?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Probabilidade Total e Probabilidade Condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos definir quantas peças cada fábrica produz. Como não temos um número específico, vamos usar uma variável para facilitar os cálculos.
  • Seja k a quantidade de peças que a fábrica F2 produz.
  • Então, a fábrica F1 produz 2k peças (o dobro de F2).
  • A fábrica F3 também produz k peças.
Então, o total de peças produzidas pelas três fábricas é:
2k + k + k = 4k

Passo 3

Agora, vamos calcular quantas peças defeituosas cada fábrica produz.
  • Fábrica F1: 2k peças, com 2% defeituosas.
Peças defeituosas da F1 = 2k times 0,02 = 0,04k ç
  • Fábrica F2: k peças, com 2% defeituosas.
Peças defeituosas da F2 = k times 0,02 = 0,02k ç
  • Fábrica F3: k peças, com 4% defeituosas.
Peças defeituosas da F3 = k times 0,04 = 0,04k ç
Total de peças defeituosas:
0,04k + 0,02k + 0,04k = 0,10k

Passo 4

Agora, para encontrar a probabilidade de uma peça escolhida aleatoriamente ser defeituosa, usamos a fórmula da probabilidade:
P(defeituosa) = Número de peças defeituosasTotal de peças úçç
Substituindo os valores que encontramos:
P(defeituosa) = 0,10k4k = 0,104 = 0,025 ou 2,5%

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de, sabendo que a peça é defeituosa, ela ter sido produzida por cada uma das fábricas. Para isso, usamos a Probabilidade Condicional:
P(Fi mid defeituosa) = P(Fi e defeituosa)P(defeituosa)
Onde:
  • P(Fi e defeituosa) é a probabilidade de a peça ter sido produzida pela fábrica Fi e ser defeituosa.
Vamos calcular para cada fábrica:
  • Fábrica F1:
P(F1 e defeituosa) = 2k4k times 0,02 = 0,5 times 0,02 = 0,01
P(F1 mid defeituosa) = 0,010,025 = 0,4 ou 40%
  • Fábrica F2:
P(F2 e defeituosa) = k4k times 0,02 = 0,25 times 0,02 = 0,005
P(F2 mid defeituosa) = 0,0050,025 = 0,2 ou 20%
  • Fábrica F3:
P(F3 e defeituosa) = k4k times 0,04 = 0,25 times 0,04 = 0,01
P(F3 mid defeituosa) = 0,010,025 = 0,4 ou 40%

Resposta

A probabilidade de que uma peça escolhida aleatoriamente seja defeituosa é de 2,5%.
Se a peça for defeituosa, a probabilidade de ela ter sido produzida por:
  • Fábrica F1: 40%
  • Fábrica F2: 20%
  • Fábrica F3: 40%

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