Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa de . Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas, independentemente. Qual a probabilidade de se obter:
a) Uma peça defeituosa?
b) Nenhuma peça defeituosa?
c) Duas peças defeituosas?
d) No mínimo duas peças defeituosas?
e) No máximo duas peças defeituosas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma linha de produção onde a chance de uma peça ser defeituosa é de 10%. A gente vai pegar 10 peças para inspecionar e calcular algumas probabilidades relacionadas a quantas peças defeituosas podemos encontrar nessa amostra. Para isso, vamos usar o teorema binomial, que é ótimo para situações onde temos experimentos com apenas dois resultados possíveis (como sucesso ou fracasso, ou peça boa ou defeituosa).

Passo 2

a) Probabilidade de obter exatamente uma peça defeituosa
Primeiro, vamos entender o que significa “exatamente uma peça defeituosa”. Queremos saber a chance de, entre as 10 peças, apenas uma ser defeituosa e as outras 9 serem boas.
A fórmula do teorema binomial é:
Onde:
  • (número total de peças)
  • (número de peças defeituosas)
  • (probabilidade de uma peça ser defeituosa)
Calculando:
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
Agora, substituímos na fórmula:

Passo 3

b) Probabilidade de obter nenhuma peça defeituosa
Aqui, queremos que todas as 10 peças sejam boas, ou seja, nenhuma defeituosa.
Usamos a mesma fórmula, mas com :
Calculando:
Então:

Passo 4

c) Probabilidade de obter duas peças defeituosas
Agora, queremos que exatamente 2 das 10 peças sejam defeituosas.
Aplicamos a fórmula com :
Calculando o coeficiente binomial:
Substituindo na fórmula:

Passo 5

d) Probabilidade de obter no mínimo duas peças defeituosas
No mínimo duas” significa que queremos 2 ou mais peças defeituosas, ou seja, 2, 3, …, até 10.
Uma forma mais fácil de calcular é subtrair as probabilidades de 0 e 1 defeituosa do total (que é 1):
í
Já calculamos e :
í

Passo 6

e) Probabilidade de obter no máximo duas peças defeituosas
No máximo duas” significa que queremos 0, 1 ou 2 peças defeituosas.
Vamos somar as probabilidades que já calculamos:
á

Resposta

a) A probabilidade de obter exatamente uma peça defeituosa é aproximadamente 38.74%.
b) A probabilidade de obter nenhuma peça defeituosa é aproximadamente 34.87%.
c) A probabilidade de obter duas peças defeituosas é aproximadamente 19.37%.
d) A probabilidade de obter no mínimo duas peças defeituosas é aproximadamente 26.39%.
e) A probabilidade de obter no máximo duas peças defeituosas é aproximadamente 92.98%.

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