Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa de 10 %. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas, independentemente. Qual a probabilidade de se obter:
a) Uma peça defeituosa?
b) Nenhuma peça defeituosa?
c) Duas peças defeituosas?
d) No mínimo duas peças defeituosas?
e) No máximo duas peças defeituosas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma linha de produção onde a chance de uma peça ser defeituosa é de 10%. A gente vai pegar 10 peças para inspecionar e calcular algumas probabilidades relacionadas a quantas peças defeituosas podemos encontrar nessa amostra. Para isso, vamos usar o teorema binomial, que é ótimo para situações onde temos experimentos com apenas dois resultados possíveis (como sucesso ou fracasso, ou peça boa ou defeituosa).

Passo 2

a) Probabilidade de obter exatamente uma peça defeituosa
Primeiro, vamos entender o que significa “exatamente uma peça defeituosa”. Queremos saber a chance de, entre as 10 peças, apenas uma ser defeituosa e as outras 9 serem boas.
A fórmula do teorema binomial é:
P(k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • P(1) = binom101 times (0.10)^1 times (0.90)^9 (número total de peças)
  • binom101 = 10 (número de peças defeituosas)
  • P(1) = 10 times 0.10 times 0.387420489 approx 0.387420489 (probabilidade de uma peça ser defeituosa)
Calculando:
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
Agora, substituímos na fórmula:

Passo 3

b) Probabilidade de obter nenhuma peça defeituosa
Aqui, queremos que todas as 10 peças sejam boas, ou seja, nenhuma defeituosa.
Usamos a mesma fórmula, mas com P(0) = binom100 times (0.10)^0 times (0.90)^10 :
binom100 = 1
Calculando:
(0.10)^0 = 1
(0.90)^10 approx 0.3486784401
P(0) = 1 times 1 times 0.3486784401 approx 0.3486784401
Então:

Passo 4

c) Probabilidade de obter duas peças defeituosas
Agora, queremos que exatamente 2 das 10 peças sejam defeituosas.
Aplicamos a fórmula com P(2) = binom102 times (0.10)^2 times (0.90)^8 :
binom102 = 10!2! times 8! = 45
Calculando o coeficiente binomial:
P(2) = 45 times 0.01 times 0.43046721 approx 0.1937102445
Substituindo na fórmula:

Passo 5

d) Probabilidade de obter no mínimo duas peças defeituosas
No mínimo duas” significa que queremos 2 ou mais peças defeituosas, ou seja, 2, 3, …, até 10.
Uma forma mais fácil de calcular é subtrair as probabilidades de 0 e 1 defeituosa do total (que é 1):
P(mínimo 2) = 1 - P(0) - P(1) í
Já calculamos P(mínimo 2) = 1 - 0.3486784401 - 0.387420489 approx 0.2639010709 e :
í

Passo 6

e) Probabilidade de obter no máximo duas peças defeituosas
No máximo duas” significa que queremos 0, 1 ou 2 peças defeituosas.
Vamos somar as probabilidades que já calculamos:
P(máximo 2) = P(0) + P(1) + P(2) approx 0.3486784401 + 0.387420489 + 0.1937102445 approx 0.9298091736 á

Resposta

a) A probabilidade de obter exatamente uma peça defeituosa é aproximadamente 38.74%.
b) A probabilidade de obter nenhuma peça defeituosa é aproximadamente 34.87%.
c) A probabilidade de obter duas peças defeituosas é aproximadamente 19.37%.
d) A probabilidade de obter no mínimo duas peças defeituosas é aproximadamente 26.39%.
e) A probabilidade de obter no máximo duas peças defeituosas é aproximadamente 92.98%.

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