Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa de
. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas, independentemente. Qual a probabilidade de se obter:
a) Uma peça defeituosa?
b) Nenhuma peça defeituosa?
c) Duas peças defeituosas?
d) No mínimo duas peças defeituosas?
e) No máximo duas peças defeituosas?
a) Uma peça defeituosa?
b) Nenhuma peça defeituosa?
c) Duas peças defeituosas?
d) No mínimo duas peças defeituosas?
e) No máximo duas peças defeituosas?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma linha de produção onde a chance de uma peça ser defeituosa é de 10%. A gente vai pegar 10 peças para inspecionar e calcular algumas probabilidades relacionadas a quantas peças defeituosas podemos encontrar nessa amostra. Para isso, vamos usar o teorema binomial, que é ótimo para situações onde temos experimentos com apenas dois resultados possíveis (como sucesso ou fracasso, ou peça boa ou defeituosa).
Passo 2
a) Probabilidade de obter exatamente uma peça defeituosa
Primeiro, vamos entender o que significa “exatamente uma peça defeituosa”. Queremos saber a chance de, entre as 10 peças, apenas uma ser defeituosa e as outras 9 serem boas.
A fórmula do teorema binomial é:
Onde:
-
(número total de peças) -
(número de peças defeituosas) -
(probabilidade de uma peça ser defeituosa)
Calculando:
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
Agora, substituímos na fórmula:
Passo 3
b) Probabilidade de obter nenhuma peça defeituosa
Aqui, queremos que todas as 10 peças sejam boas, ou seja, nenhuma defeituosa.
Usamos a mesma fórmula, mas com
:
Calculando:
Então:
Passo 4
c) Probabilidade de obter duas peças defeituosas
Agora, queremos que exatamente 2 das 10 peças sejam defeituosas.
Aplicamos a fórmula com
:
Calculando o coeficiente binomial:
Substituindo na fórmula:
Passo 5
d) Probabilidade de obter no mínimo duas peças defeituosas
“No mínimo duas” significa que queremos 2 ou mais peças defeituosas, ou seja, 2, 3, …, até 10.
Uma forma mais fácil de calcular é subtrair as probabilidades de 0 e 1 defeituosa do total (que é 1):
Já calculamos
e
:
Passo 6
e) Probabilidade de obter no máximo duas peças defeituosas
“No máximo duas” significa que queremos 0, 1 ou 2 peças defeituosas.
Vamos somar as probabilidades que já calculamos:
Resposta
a) A probabilidade de obter exatamente uma peça defeituosa é aproximadamente 38.74%.
b) A probabilidade de obter nenhuma peça defeituosa é aproximadamente 34.87%.
c) A probabilidade de obter duas peças defeituosas é aproximadamente 19.37%.
d) A probabilidade de obter no mínimo duas peças defeituosas é aproximadamente 26.39%.
e) A probabilidade de obter no máximo duas peças defeituosas é aproximadamente 92.98%.
Exercícios relacionados
Uma determinada peça é produzida por três fábricas,
e
. Sabe-se que a fábrica
produz o dôbro de peças que a fábrica
; as fábricas
e
produzem o mesmo número de peças (durante um período de produção especificado). Sabe-se também que
das peças produzidas pelas fábricas
e
são defeituosas, enquanto a fábrica
produz
de peças defeituosas. Todas as peças produzidas são colocadas em um depósito e depois uma peça é escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade de que essa peça seja defeituosa? Qual a probabilidade de que a peça sendo defeituosa, tenha sido produzida pela fábrica
?
?
?
Suponha que a central telefônica de uma empresa de grande porte recebe em média 3 chamadas cada 4 minutos. Qual é a probabilidade que a central recepcione 2 ou menos chamadas em um intervalo de 2 minutos?
Uma caixa contém 5 peças escolhidas, ao acaso, das produzidas por um processo de fabricação que é
defeituoso ( a probabilidade de que uma peça produzida por esse processo seja defeituosa é 0,2 ). Suponha que uma peça, retirada aleatoriamente da caixa, seja defeituosa. Qual é a probabilidade de que uma segunda peça retirada ao acaso das restantes na caixa seja defeituosa.