A caixa 1 contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas e a caixa 2 contém 4 bolas vermelhas e 2 brancas. Extrai-se ao acaso uma bola da primeira caixa e coloca-se na segunda (sem observar a cor). Extraí-se, então uma bola da segunda caixa. Qual é a probabilidade de que esta bola seja branca?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas caixas de bolas:
- Caixa 1: 3 bolas vermelhas e 5 brancas.
- Caixa 2: 4 bolas vermelhas e 2 brancas.
A gente vai tirar uma bola da Caixa 1 e colocar na Caixa 2, sem ver a cor. Depois, vamos tirar uma bola da Caixa 2. A pergunta é: qual a probabilidade de tirar uma bola branca na segunda extração?
Esse problema envolve probabilidade condicional e a Regra da Probabilidade Total. Vamos precisar calcular as diferentes possibilidades de como a primeira bola afetará a segunda extração.
Passo 2
Primeiro, vamos ver quantas bolas tem cada caixa inicialmente:
- Caixa 1: Total de bolas = 3 vermelhas + 5 brancas = 8 bolas.
- Caixa 2: Total de bolas = 4 vermelhas + 2 brancas = 6 bolas.
Passo 3
Quando tiramos uma bola da Caixa 1, ela pode ser vermelha ou branca. Vamos calcular as probabilidades de cada caso:
-
Probabilidade de tirar uma bola vermelha da Caixa 1:
-
Probabilidade de tirar uma bola branca da Caixa 1:
Passo 4
Dependendo de qual bola tiramos da Caixa 1 e colocamos na Caixa 2, a composição da Caixa 2 muda:
-
Se a bola for vermelha (V):
- Caixa 2 passa a ter: 4 + 1 = 5 vermelhas e 2 brancas.
- Total de bolas na Caixa 2 agora: 5 + 2 = 7 bolas.
-
Se a bola for branca (B):
- Caixa 2 passa a ter: 4 vermelhas e 2 + 1 = 3 brancas.
- Total de bolas na Caixa 2 agora: 4 + 3 = 7 bolas.
Passo 5
Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar uma bola branca da Caixa 2 em cada cenário:
-
Após adicionar uma bola vermelha:
-
Após adicionar uma bola branca:
Passo 6
Para encontrar a probabilidade total de tirar uma bola branca na segunda extração, usamos a Regra da Probabilidade Total:
Substituindo os valores:
Resposta
Calculando:
Portanto, a probabilidade de tirar uma bola branca na segunda extração é
.
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a) Encontre a função de massa de probabilidade do lucro;
b) Faça o gráfico da função de distribuição acumulada do lucro;
c) Encontre o lucro esperado, o lucro mediano e a moda do lucro;
d) Calcule o desvio padrão do lucro.
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