A caixa 1 contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas e a caixa 2 contém 4 bolas vermelhas e 2 brancas. Extrai-se ao acaso uma bola da primeira caixa e coloca-se na segunda (sem observar a cor). Extraí-se, então uma bola da segunda caixa. Qual é a probabilidade de que esta bola seja branca?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas caixas de bolas:
  • Caixa 1: 3 bolas vermelhas e 5 brancas.
  • Caixa 2: 4 bolas vermelhas e 2 brancas.
A gente vai tirar uma bola da Caixa 1 e colocar na Caixa 2, sem ver a cor. Depois, vamos tirar uma bola da Caixa 2. A pergunta é: qual a probabilidade de tirar uma bola branca na segunda extração?
Esse problema envolve probabilidade condicional e a Regra da Probabilidade Total. Vamos precisar calcular as diferentes possibilidades de como a primeira bola afetará a segunda extração.

Passo 2

Primeiro, vamos ver quantas bolas tem cada caixa inicialmente:
  • Caixa 1: Total de bolas = 3 vermelhas + 5 brancas = 8 bolas.
  • Caixa 2: Total de bolas = 4 vermelhas + 2 brancas = 6 bolas.

Passo 3

Quando tiramos uma bola da Caixa 1, ela pode ser vermelha ou branca. Vamos calcular as probabilidades de cada caso:
  • Probabilidade de tirar uma bola vermelha da Caixa 1:
    P(V) = 38
  • Probabilidade de tirar uma bola branca da Caixa 1:
    P(B) = 58

Passo 4

Dependendo de qual bola tiramos da Caixa 1 e colocamos na Caixa 2, a composição da Caixa 2 muda:
  1. Se a bola for vermelha (V):
    • Caixa 2 passa a ter: 4 + 1 = 5 vermelhas e 2 brancas.
    • Total de bolas na Caixa 2 agora: 5 + 2 = 7 bolas.
  2. Se a bola for branca (B):
    • Caixa 2 passa a ter: 4 vermelhas e 2 + 1 = 3 brancas.
    • Total de bolas na Caixa 2 agora: 4 + 3 = 7 bolas.

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar uma bola branca da Caixa 2 em cada cenário:
  1. Após adicionar uma bola vermelha:
    P(Branca|V) = 27
  2. Após adicionar uma bola branca:
    P(Branca|B) = 37

Passo 6

Para encontrar a probabilidade total de tirar uma bola branca na segunda extração, usamos a Regra da Probabilidade Total:
P(Branca) = P(V) times P(Branca|V) + P(B) times P(Branca|B)
Substituindo os valores:
P(Branca) = (38) times (27) + (58) times (37)

Resposta

Calculando:
P(Branca) = 656 + 1556 = 2156 = 38
Portanto, a probabilidade de tirar uma bola branca na segunda extração é 38.

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