Para cada um dos conjuntos abaixo, sua fronteira é descrita por uma curva suave por partes. Esboce o conjunto, sua fronteira e dê uma aplicação que a descreva. V = {z ∈ C | 1/3 <= |z| <= 1, Re(z) >= Im(z) >= 0}.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto dos números complexos que satisfazem duas condições:
  1. O módulo de está entre e , ou seja, .
  2. A parte real de é maior ou igual à parte imaginária, que por sua vez é maior ou igual a zero, isto é, .
Vamos precisar conhecer um pouco sobre números complexos, especialmente sobre a representação gráfica desses números no plano complexo, onde o eixo horizontal representa a parte real e o eixo vertical a parte imaginária.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar a condição . O módulo de , , representa a distância do ponto até a origem no plano complexo. Assim, essa condição define uma região entre dois círculos concêntricos: um de raio e outro de raio .

Passo 3

Agora, analisamos a segunda condição: . Isso significa que:
  • A parte real de é pelo menos tão grande quanto a parte imaginária.
  • A parte imaginária de é não negativa.
No plano complexo, isso corresponde a uma região no primeiro quadrante (onde a parte real e imaginária são positivas) limitada pela reta onde a parte real é igual à parte imaginária.

Passo 4

Vamos então esboçar o conjunto :
  1. Desenhamos dois círculos concêntricos com raios e .
  2. Dentro desses círculos, consideramos apenas a parte do primeiro quadrante onde . Isso forma uma espécie de “fatia” entre os dois círculos, limitada pela linha onde a parte real e a imaginária são iguais.

Passo 5

A fronteira de é composta pelas curvas que formam os limites do conjunto. Nesse caso, a fronteira é formada pelas duas circunferências (com raios e ) e pela reta onde .

Passo 6

Para descrever uma aplicação que caracteriza esse conjunto, podemos usar uma função que mapeia um ponto no conjunto para suas coordenadas polares e aplica as restrições dadas. Por exemplo:
Com as restrições:
Isso mapeia cada no conjunto para um ponto no intervalo definido de e , descrevendo assim o conjunto.

Resposta

O conjunto é uma “fatia” no primeiro quadrante do plano complexo, limitado por dois círculos de raios e , e pela reta onde a parte real é igual à parte imaginária. A aplicação que descreve utiliza coordenadas polares com e .

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