Para cada um dos conjuntos abaixo, sua fronteira é descrita por uma curva suave por partes. Esboce o conjunto, sua fronteira e dê uma aplicação que a descreva.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
dos números complexos
que satisfazem duas condições:
- O módulo de
está entre e , ou seja, . - A parte real de
é maior ou igual à parte imaginária, que por sua vez é maior ou igual a zero, isto é, .
Vamos precisar conhecer um pouco sobre números complexos, especialmente sobre a representação gráfica desses números no plano complexo, onde o eixo horizontal representa a parte real e o eixo vertical a parte imaginária.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar a condição
. O módulo de
,
, representa a distância do ponto
até a origem no plano complexo. Assim, essa condição define uma região entre dois círculos concêntricos: um de raio
e outro de raio
.
Passo 3
Agora, analisamos a segunda condição:
. Isso significa que:
- A parte real de
é pelo menos tão grande quanto a parte imaginária. - A parte imaginária de
é não negativa.
No plano complexo, isso corresponde a uma região no primeiro quadrante (onde a parte real e imaginária são positivas) limitada pela reta onde a parte real é igual à parte imaginária.
Passo 4
Vamos então esboçar o conjunto
:
- Desenhamos dois círculos concêntricos com raios
e . - Dentro desses círculos, consideramos apenas a parte do primeiro quadrante onde
. Isso forma uma espécie de “fatia” entre os dois círculos, limitada pela linha onde a parte real e a imaginária são iguais.
Passo 5
A fronteira de
é composta pelas curvas que formam os limites do conjunto. Nesse caso, a fronteira é formada pelas duas circunferências (com raios
e
) e pela reta onde
.
Passo 6
Para descrever uma aplicação que caracteriza esse conjunto, podemos usar uma função que mapeia um ponto
no conjunto para suas coordenadas polares e aplica as restrições dadas. Por exemplo:
Com as restrições:
Isso mapeia cada
no conjunto
para um ponto no intervalo definido de
e
, descrevendo assim o conjunto.
Resposta
O conjunto
é uma “fatia” no primeiro quadrante do plano complexo, limitado por dois círculos de raios
e
, e pela reta onde a parte real é igual à parte imaginária. A aplicação que descreve
utiliza coordenadas polares com
e
.