Em cada uns dos problemas encontre a solução geral. y'' + 4y = 2 sen(2t) + t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . O que a gente precisa aqui é achar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar achar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para o lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica é . Resolvendo para r:
Como as raízes são números imaginários puros ( ), a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução particular para o lado direito da equação . Vamos fazer isso em duas partes:
Parte 1:
Como já está na solução homogênea, precisamos multiplicar por para achar a solução particular. Então, assumimos:
Derivando:
Substituindo e suas derivadas na equação original e igualando os coeficientes, encontramos os valores de e t.
Parte 2:
Para a parte , assumimos uma solução particular polinomial:
Derivando:
A
Substituindo na equação original:
B
Igualando os coeficientes:
t
t
Então,

Passo 5

Agora, juntamos as soluções particulares das duas partes:
Após determinar os valores de A e B, substituímos tudo na solução geral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias, e e A são determinados através do processo de substituição na equação original.

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