Em cada uns dos problemas encontre a solução geral.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial . O que a gente precisa aqui é achar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar achar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para o lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica é
. Resolvendo para
:
Como as raízes são números imaginários puros (
), a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a solução particular para o lado direito da equação . Vamos fazer isso em duas partes:
Parte 1:
Como já está na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para achar a solução particular. Então, assumimos:
Derivando:
Substituindo
e suas derivadas na equação original e igualando os coeficientes, encontramos os valores de
e
.
Parte 2:
Para a parte
, assumimos uma solução particular polinomial:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Igualando os coeficientes:
Então,
Passo 5
Agora, juntamos as soluções particulares das duas partes:
Após determinar os valores de
e
, substituímos tudo na solução geral.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias, e
e
são determinados através do processo de substituição na equação original.
Exercícios relacionados
Nesse exercício,
é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados:
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Para cada um dos conjuntos abaixo, sua fronteira é descrita por uma curva suave por partes. Esboce o conjunto, sua fronteira e dê uma aplicação que a descreva.
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Nesse exercício,
é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados:
Para cada um dos conjuntos abaixo, sua fronteira é descrita por uma curva suave por partes. Esboce o conjunto, sua fronteira e dê uma aplicação que a descreva.
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