Nesse exercício,
é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar o conjunto definido por
, onde
é um número complexo qualquer. A matéria envolvida aqui é Números Complexos, mais especificamente o estudo de conjuntos no plano complexo. Para resolver, vamos precisar entender o que representa
e como interpretar as desigualdades que definem esse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo
pode ser representado no plano complexo como um ponto com coordenadas
, onde
. O termo
representa o conjugado de
. Se
, então
.
Passo 3
A expressão
representa a distância entre o ponto
e o ponto
no plano complexo. Isso porque
sempre dá a distância entre dois pontos
e
.
Passo 4
Agora, a desigualdade
está dizendo que estamos considerando todos os pontos
que estão a uma distância maior que 1 e, no máximo, 3 unidades do ponto
.
Passo 5
Visualizando isso no plano complexo, esse conjunto forma uma região entre dois círculos concêntricos:
- Um círculo interno com raio 1 centrado em
. - Um círculo externo com raio 3 também centrado em
.
Passo 6
Vamos analisar as propriedades desse conjunto:
-
Fechado ou Aberto:
- A desigualdade
não inclui a igualdade, então o círculo interno não está incluído, tornando essa parte aberta. - A desigualdade
inclui a igualdade, então o círculo externo está incluído, tornando essa parte fechada. - Portanto, o conjunto é não fechado nem aberto como um todo.
- A desigualdade
-
Fronteira:
- A fronteira do conjunto consiste nos dois círculos:
e .
- A fronteira do conjunto consiste nos dois círculos:
-
Domínio:
- Um domínio é um conjunto aberto e conexo. Como nosso conjunto não é totalmente aberto (o círculo externo está incluído), ele não é um domínio.
-
Limitado:
- O conjunto está contido dentro de um círculo de raio 3, portanto, é limitado.
Resposta
O conjunto
representa a região entre dois círculos concêntricos no plano complexo, com
como centro. Essa região não é nem fechada nem aberta. Sua fronteira é composta pelos círculos de raio 1 e 3 centrados em
. O conjunto não é um domínio, mas é limitado pois está confinado dentro de um raio máximo de 3 unidades.
Exercícios relacionados
Em cada uns dos problemas encontre a solução geral.
.
Nesse exercício,
é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados:
.
Para cada um dos conjuntos abaixo, sua fronteira é descrita por uma curva suave por partes. Esboce o conjunto, sua fronteira e dê uma aplicação que a descreva.
.
Calcule
onde
é a região interior à elipse
, orientada no sentido anti-horário.