Nesse exercício, é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar o conjunto definido por , onde é um número complexo qualquer. A matéria envolvida aqui é Números Complexos, mais especificamente o estudo de conjuntos no plano complexo. Para resolver, vamos precisar entender o que representa e como interpretar as desigualdades que definem esse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser representado no plano complexo como um ponto com coordenadas , onde . O termo representa o conjugado de . Se , então .

Passo 3

A expressão representa a distância entre o ponto e o ponto no plano complexo. Isso porque sempre dá a distância entre dois pontos e .

Passo 4

Agora, a desigualdade está dizendo que estamos considerando todos os pontos que estão a uma distância maior que 1 e, no máximo, 3 unidades do ponto .

Passo 5

Visualizando isso no plano complexo, esse conjunto forma uma região entre dois círculos concêntricos:
  • Um círculo interno com raio 1 centrado em .
  • Um círculo externo com raio 3 também centrado em .

Passo 6

Vamos analisar as propriedades desse conjunto:
  • Fechado ou Aberto:
    • A desigualdade não inclui a igualdade, então o círculo interno não está incluído, tornando essa parte aberta.
    • A desigualdade inclui a igualdade, então o círculo externo está incluído, tornando essa parte fechada.
    • Portanto, o conjunto é não fechado nem aberto como um todo.
  • Fronteira:
    • A fronteira do conjunto consiste nos dois círculos: e .
  • Domínio:
    • Um domínio é um conjunto aberto e conexo. Como nosso conjunto não é totalmente aberto (o círculo externo está incluído), ele não é um domínio.
  • Limitado:
    • O conjunto está contido dentro de um círculo de raio 3, portanto, é limitado.

Resposta

O conjunto representa a região entre dois círculos concêntricos no plano complexo, com como centro. Essa região não é nem fechada nem aberta. Sua fronteira é composta pelos círculos de raio 1 e 3 centrados em . O conjunto não é um domínio, mas é limitado pois está confinado dentro de um raio máximo de 3 unidades.

Exercícios relacionados

Em cada uns dos problemas encontre a solução geral. .
Nesse exercício, é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados: .
Para cada um dos conjuntos abaixo, sua fronteira é descrita por uma curva suave por partes. Esboce o conjunto, sua fronteira e dê uma aplicação que a descreva. .
Calcule
onde é a região interior à elipse , orientada no sentido anti-horário.