Dadas as sequencias limitadas x_n e y_n, provar que a sequência 3*x_n - 2*y_n é também limitada

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas sequências limitadas, x_n e y_n. Sequências limitadas são aquelas cujos termos não saem de um certo intervalo; ou seja, existe um número que serve como limite máximo para os valores das sequências. Nosso objetivo aqui é provar que a sequência formada por também é limitada. Para isso, vamos precisar usar algumas propriedades básicas das sequências limitadas e operações com números reais.

Passo 2

Como as sequências x_n e y_n são limitadas, isso significa que existem números reais M e N tais que para todo n:
Aqui, significa que os valores de xn nunca excedem M em módulo, e o mesmo vale para y_n com N.

Passo 3

Agora, vamos considerar a sequência . Queremos encontrar um limite superior para o módulo dessa expressão. Usamos a propriedade que o módulo da soma é menor ou igual à soma dos módulos:

Passo 4

Substituindo os limites conhecidos para e , temos:
Isso mostra que o módulo de nunca excede .

Passo 5

Concluímos, portanto, que a sequência é limitada, já que existe um número tal que para todo n:

Resposta

A sequência é limitada, com limite máximo .

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