Dadas as sequencias limitadas
e
, provar que a sequência
é também limitada
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas sequências limitadas,
e
. Sequências limitadas são aquelas cujos termos não saem de um certo intervalo; ou seja, existe um número que serve como limite máximo para os valores das sequências. Nosso objetivo aqui é provar que a sequência formada por
também é limitada. Para isso, vamos precisar usar algumas propriedades básicas das sequências limitadas e operações com números reais.
Passo 2
Como as sequências
e
são limitadas, isso significa que existem números reais
e
tais que para todo
:
Aqui,
significa que os valores de
nunca excedem
em módulo, e o mesmo vale para
com
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a sequência
. Queremos encontrar um limite superior para o módulo dessa expressão. Usamos a propriedade que o módulo da soma é menor ou igual à soma dos módulos:
Passo 4
Substituindo os limites conhecidos para
e
, temos:
Isso mostra que o módulo de
nunca excede
.
Passo 5
Concluímos, portanto, que a sequência
é limitada, já que existe um número
tal que para todo
:
Resposta
A sequência
é limitada, com limite máximo
.
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onde
é a região interior à elipse
, orientada no sentido anti-horário.
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.
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, cujo deslocamento é expresso por:
.