Cada um de dois corpos têm capacidade calorifica dada por:
, onde
e
. Se os corpos estão inicialmente a temperaturas de 200 K e 400 K , e uma fonte reversivel de trabalho é disponivel, qual a temperatura mínima final (comum) para a qual os dois corpos podem ser levados? Se nenhum trabalho puder ser extraído da fonte reversível de trabalho, qual é a temperatura máxima final para a qual os dois corpos podem ser levados?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos dois corpos com capacidades caloríficas que dependem da temperatura, dadas pela fórmula:
onde
e
. Os corpos estão inicialmente às temperaturas de 200 K e 400 K. Precisamos determinar:
- A temperatura mínima final comum que ambos os corpos podem atingir usando uma fonte reversível de trabalho.
- A temperatura máxima final comum caso nenhum trabalho possa ser extraído da fonte reversível.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica relacionados à conservação de energia e às trocas de calor entre os corpos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a capacidade calorífica que depende da temperatura. A capacidade calorífica
indica quanta energia é necessária para aumentar a temperatura de um corpo em uma certa quantidade. No nosso caso:
Isso significa que a capacidade calorífica aumenta linearmente com a temperatura.
Passo 3
Vamos calcular a energia necessária para mudar a temperatura de cada corpo. A energia
necessária para aquecer ou resfriar um corpo de uma temperatura inicial
para uma final
é dada por:
Substituindo
:
Passo 4
No caso de uma fonte reversível de trabalho estar disponível, podemos considerar que a troca de calor pode ser acompanhada por trabalho sem aumentar a entropia do sistema. Assim, a soma das energias trocadas pelos dois corpos será igual ao trabalho realizado.
Vamos chamar de
a energia trocada pelo primeiro corpo (de 200 K) e
a do segundo corpo (de 400 K). Como estamos desejando uma temperatura final comum
, temos:
Isso porque o calor absorvido por um corpo será igual ao calor liberado pelo outro, ajustado pelo trabalho realizado.
Passo 5
Aplicando a equação de energia para cada corpo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos uma equação quadrática na forma
. Vamos resolver para
:
Multiplicando todos os termos por 100 para eliminar os decimais:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Calculando o discriminante:
Então:
Portanto:
Considerando a solução física válida (temperatura não pode ser negativa):
Resposta
A temperatura mínima final comum que os dois corpos podem atingir usando uma fonte reversível de trabalho é aproximadamente 307.11 K. Se nenhum trabalho puder ser extraído, a temperatura máxima final comum será de 307.11 K também.