Cada um de dois corpos têm capacidade calorifica dada por: C=A+2 B T, onde A=8 J / K e B=2 times 10^-2 J / K^2. Se os corpos estão inicialmente a temperaturas de 200 K e 400 K , e uma fonte reversivel de trabalho é disponivel, qual a temperatura mínima final (comum) para a qual os dois corpos podem ser levados? Se nenhum trabalho puder ser extraído da fonte reversível de trabalho, qual é a temperatura máxima final para a qual os dois corpos podem ser levados?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos dois corpos com capacidades caloríficas que dependem da temperatura, dadas pela fórmula:
C = A + 2 B cdot T
onde A = 8 , J/K e B = 2 times 10^-2 , J/K^2. Os corpos estão inicialmente às temperaturas de 200 K e 400 K. Precisamos determinar:
  1. A temperatura mínima final comum que ambos os corpos podem atingir usando uma fonte reversível de trabalho.
  2. A temperatura máxima final comum caso nenhum trabalho possa ser extraído da fonte reversível.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica relacionados à conservação de energia e às trocas de calor entre os corpos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a capacidade calorífica que depende da temperatura. A capacidade calorífica C(T) indica quanta energia é necessária para aumentar a temperatura de um corpo em uma certa quantidade. No nosso caso:
C(T) = 8 , J/K + 2 times 10^-2 , J/K^2 cdot T
Isso significa que a capacidade calorífica aumenta linearmente com a temperatura.

Passo 3

Vamos calcular a energia necessária para mudar a temperatura de cada corpo. A energia Q necessária para aquecer ou resfriar um corpo de uma temperatura inicial Ti para uma final Tf é dada por:
Q = integralTi^Tf C(T) , dT
Substituindo C(T):
Q = integralTi^Tf (8 + 0.02 , T) , dT = 8 (Tf - Ti) + 0.01 (Tf^2 - Ti^2)

Passo 4

No caso de uma fonte reversível de trabalho estar disponível, podemos considerar que a troca de calor pode ser acompanhada por trabalho sem aumentar a entropia do sistema. Assim, a soma das energias trocadas pelos dois corpos será igual ao trabalho realizado.
Vamos chamar de Q1 a energia trocada pelo primeiro corpo (de 200 K) e Q2 a do segundo corpo (de 400 K). Como estamos desejando uma temperatura final comum Tf, temos:
Q1 + Q2 = 0
Isso porque o calor absorvido por um corpo será igual ao calor liberado pelo outro, ajustado pelo trabalho realizado.

Passo 5

Aplicando a equação de energia para cada corpo:
8 (Tf - 200) + 0.01 (Tf^2 - 200^2) + 8 (Tf - 400) + 0.01 (Tf^2 - 400^2) = 0
Simplificando:
8(Tf - 200 + Tf - 400) + 0.01(Tf^2 - 40000 + Tf^2 - 160000) = 0
8(2Tf - 600) + 0.01(2Tf^2 - 200000) = 0
16Tf - 4800 + 0.02Tf^2 - 2000 = 0
0.02Tf^2 + 16Tf - 6800 = 0

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática na forma aTf^2 + bTf + c = 0. Vamos resolver para Tf:
0.02Tf^2 + 16Tf - 6800 = 0
Multiplicando todos os termos por 100 para eliminar os decimais:
2Tf^2 + 1600Tf - 680000 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Tf = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 2, b = 1600, e c = -680000.
Calculando o discriminante:
De
Então:
Tf = -1600 pm raiz80000004
raiz8000000 approx 2828.43
Portanto:
Tf = -1600 pm 2828.434
Considerando a solução física válida (temperatura não pode ser negativa):
Tf = -1600 + 2828.434 approx 1228.434 approx 307.11 , K

Resposta

A temperatura mínima final comum que os dois corpos podem atingir usando uma fonte reversível de trabalho é aproximadamente 307.11 K. Se nenhum trabalho puder ser extraído, a temperatura máxima final comum será de 307.11 K também.

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