Para cada equação abaixo, determine se ela é exata. Em caso afirmativo, encontre a solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais exatas. Precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução. Para isso, vamos seguir alguns passos simples.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções que multiplicam
e
:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando
:
E calculando
:
Como
, a equação é exata.
Passo 5
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece como constante de integração.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando, temos:
Integrando
em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos
na função
:
Para encontrar a solução geral, igualamos
a uma constante:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante.