Para cada equação abaixo, determine se ela é exata. Em caso afirmativo, encontre a solução.
(3t^2 - 2ty + 2) dt + (6y^2 - t^2 + 3) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais exatas. Precisamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução. Para isso, vamos seguir alguns passos simples.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções que multiplicam e :

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando :
E calculando :
Como , a equação é exata.

Passo 5

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece como constante de integração.

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando, temos:
Integrando em relação a :

Passo 7

Agora, substituímos na função :
Para encontrar a solução geral, igualamos a uma constante:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é uma constante.

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