Em cada um dos problemas abaixo, encontre o valor de b para o qual a equação dada é exata e depois resolva-a utilizando este valor de b :
(y e^(2 t y) + t) dt + b t e^(2 t y) dy = 0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! Aqui, a gente precisa encontrar o valor de que torna a equação exata e, depois, resolver essa equação. Vamos trabalhar com equações diferenciais exatas, que são aquelas onde dá para encontrar uma função potencial que resolve a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Aqui, identificamos e .
Para a equação ser exata, precisa valer que a derivada de em relação a é igual à derivada de em relação a . Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular essas derivadas:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, igualamos as duas derivadas para encontrar :
Podemos dividir ambos os lados por (já que nunca é zero):

Passo 5

Vamos reorganizar essa equação para isolar :
Agora, podemos ver que para essa igualdade valer para todos os valores de e , o único valor possível para é:

Passo 6

Com , a equação fica exata:
Agora, vamos resolver essa equação.

Passo 7

Para resolver uma equação exata, procuramos uma função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a :

Passo 8

Integrando cada termo separadamente:
  1. Integrando em relação a :
    Fazendo a substituição , temos , então:
  2. Integrando em relação a :
Portanto,
Onde é uma função de que ainda vamos determinar.

Passo 9

Agora, calculamos a derivada de em relação a e igualamos a :
Isso implica que:
Integrando, encontramos .

Passo 10

Portanto, a função potencial é:
Onde é uma constante.

Resposta

A solução da equação é:

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