Em cada um dos problemas abaixo, encontre o valor de
para o qual a equação dada é exata e depois resolva-a utilizando este valor de
:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! Aqui, a gente precisa encontrar o valor de
que torna a equação exata e, depois, resolver essa equação. Vamos trabalhar com equações diferenciais exatas, que são aquelas onde dá para encontrar uma função potencial que resolve a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Aqui, identificamos
e
.
Para a equação ser exata, precisa valer que a derivada de
em relação a
é igual à derivada de
em relação a
. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 4
Agora, igualamos as duas derivadas para encontrar
:
Podemos dividir ambos os lados por
(já que
nunca é zero):
Passo 5
Vamos reorganizar essa equação para isolar
:
Agora, podemos ver que para essa igualdade valer para todos os valores de
e
, o único valor possível para
é:
Passo 6
Com
, a equação fica exata:
Agora, vamos resolver essa equação.
Passo 7
Para resolver uma equação exata, procuramos uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Passo 8
Integrando cada termo separadamente:
-
Integrando
em relação a : Fazendo a substituição, temos , então: -
Integrando
em relação a :
Portanto,
Onde
é uma função de
que ainda vamos determinar.
Passo 9
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que:
Integrando, encontramos
.
Passo 10
Portanto, a função potencial é:
Onde
é uma constante.
Resposta
A solução da equação é: