Calcule os limites abaixo, se existirem. Caso não existam, justifique
lim (x, y) (0,0) x y sen(y)y(x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função quando o ponto se aproxima de . Estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, então vamos usar conceitos como caminhos de aproximação e propriedades das funções trigonométricas para resolver. Precisaremos entender como simplificar a expressão e testar diferentes caminhos para ver se o limite existe.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão do limite:
lim(x, y) (0,0) x y sin(y)y(x^2+y^2)
Aqui, vemos que o denominador tem um x y sin(y)y(x^2+y^2) = x sin(y)x^2 + y^2 que também está no numerador. Podemos simplificar a fração cancelando o lim(x, y) (0,0) x sin(y)x^2 + y^2 :
Isso simplifica a nossa expressão para:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que para valores pequenos de x sin(y)x^2 + y^2 approx x yx^2 + y^2 , a função seno pode ser aproximada por lim(x, y) (0,0) x yx^2 + y^2 . Essa é uma propriedade fundamental das funções trigonométricas, onde o seno de um ângulo pequeno é aproximadamente igual ao próprio ângulo (quando medido em radianos). Então, podemos substituir por :
Agora, nosso limite fica:

Passo 4

Para verificar se esse limite existe, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de 0 cdot y0^2 + y^2 = 0 por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo independentemente do caminho escolhido, então ele existe. Caso contrário, ele não existe.
Vamos testar dois caminhos diferentes:
Caminho 1: Aproximando-se ao longo do eixo x cdot kxx^2 + (kx)^2 = kx^2x^2 + k^2x^2 = kx^2x^2(1 + k^2) = k1 + k^2 .
Se , a expressão se torna:
Então, ao se aproximar de pelo eixo , o limite é 0.
Caminho 2: Aproximando-se ao longo da linha , onde é uma constante.
Substituindo na expressão:
Aqui, o limite depende do valor de . Por exemplo, se , o limite é ; se , o limite é , e assim por diante.

Passo 5

Como vimos, o limite ao se aproximar por é 0, mas ao se aproximar por o limite depende de . Isso significa que o valor do limite muda conforme o caminho que escolhemos para nos aproximar de .

Resposta

O limite não existe porque os valores dependem do caminho de aproximação escolhido.

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