Calcule os limites abaixo, se existirem. Caso não existam, justifique
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função quando o ponto
se aproxima de
. Estamos lidando com limites em funções de duas variáveis, então vamos usar conceitos como caminhos de aproximação e propriedades das funções trigonométricas para resolver. Precisaremos entender como simplificar a expressão e testar diferentes caminhos para ver se o limite existe.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão do limite:
Aqui, vemos que o denominador tem um
que também está no numerador. Podemos simplificar a fração cancelando o
:
Isso simplifica a nossa expressão para:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que para valores pequenos de
, a função seno pode ser aproximada por
. Essa é uma propriedade fundamental das funções trigonométricas, onde o seno de um ângulo pequeno é aproximadamente igual ao próprio ângulo (quando medido em radianos). Então, podemos substituir
por
:
Agora, nosso limite fica:
Passo 4
Para verificar se esse limite existe, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos. Se o limite for o mesmo independentemente do caminho escolhido, então ele existe. Caso contrário, ele não existe.
Vamos testar dois caminhos diferentes:
Caminho 1: Aproximando-se ao longo do eixo
.
Se
, a expressão se torna:
Então, ao se aproximar de
pelo eixo
, o limite é 0.
Caminho 2: Aproximando-se ao longo da linha
, onde
é uma constante.
Substituindo
na expressão:
Aqui, o limite depende do valor de
. Por exemplo, se
, o limite é
; se
, o limite é
, e assim por diante.
Passo 5
Como vimos, o limite ao se aproximar por
é 0, mas ao se aproximar por
o limite depende de
. Isso significa que o valor do limite muda conforme o caminho que escolhemos para nos aproximar de
.
Resposta
O limite não existe porque os valores dependem do caminho de aproximação escolhido.