Para cada equação abaixo, determine se ela é exata. Em caso afirmativo, encontre a solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe está na área de Equações Diferenciais, especificamente tratando de Equações Diferenciais Exatas. A gente vai precisar verificar se a equação dada é exata e, se for o caso, encontrar a solução dela. A equação que temos é:
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja:
Isso nos garante que existe uma função potencial
cuja derivada total corresponde à equação diferencial dada.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos comparar as duas derivadas parciais:
Como elas são iguais, a equação é exata!
Passo 6
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Vamos começar integrando
em relação a
:
Integrando termo a termo:
Aqui,
é uma função de
que aparece como constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Igualando a
:
Isso nos dá:
Integrando, obtemos:
onde
é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: