Para cada equação abaixo, determine se ela é exata. Em caso afirmativo, encontre a solução.
(e^t sen(y) - 2y sen(t)) dt + (e^t cos(y) + 2 cos(t)) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe está na área de Equações Diferenciais, especificamente tratando de Equações Diferenciais Exatas. A gente vai precisar verificar se a equação dada é exata e, se for o caso, encontrar a solução dela. A equação que temos é:

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a , ou seja:
Isso nos garante que existe uma função potencial cuja derivada total corresponde à equação diferencial dada.

Passo 3

Vamos identificar e na nossa equação:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, vamos comparar as duas derivadas parciais:
Como elas são iguais, a equação é exata!

Passo 6

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial tal que:
Vamos começar integrando em relação a :
Integrando termo a termo:
Aqui, é uma função de que aparece como constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Igualando a :
Isso nos dá:
Integrando, obtemos:
onde é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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