Para cada equação dada, determine o ângulo de rotação que elimina o termo misto, reescreva a equação equivalente desprovida do termo misto e esboce a curva.
x^2+y^2+8 x-8 y+2 x y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o ângulo de rotação que elimina o termo misto na equação quadrática dada. A matéria que vamos usar aqui é a rotação de eixos para simplificar equações de segundo grau. Para resolver, vamos precisar entender como calcular esse ângulo e depois aplicar a rotação para reescrever a equação sem o termo misto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação geral da conic section:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
No nosso caso, a equação é:
x^2 + y^2 + 8x - 8y + 2xy = 0
Então, temos:

Passo 3

Agora, para encontrar o ângulo de rotação tan(2theta) = BA - C que elimina o termo misto tan(2theta) = 21 - 1 = 20 , usamos a fórmula:
theta = 45^circ
Substituindo os valores:
Como a divisão por zero indica que tende ao infinito, isso significa que , então:

Passo 4

Com o ângulo de rotação x = x'costheta - y'sintheta , vamos mudar as coordenadas usando as fórmulas de rotação:
y = x'sintheta + y'costheta
(raiz22x' - raiz22y')^2 + (raiz22x' + raiz22y')^2 + 8(raiz22x' - raiz22y') - 8(raiz22x' + raiz22y') + 2(raiz22x' - raiz22y')(raiz22x' + raiz22y') = 0
Como , . Substituindo na equação original:

Passo 5

Simplificando a equação acima, observamos que o termo x'^2 + y'^2 + (termos lineares e constantes) = 0 será eliminado devido à escolha do ângulo de rotação. Após simplificar todos os termos, a equação equivalente sem o termo misto fica:
Continuando a simplificação, podemos reorganizar para identificar a natureza da curva.

Resposta

O ângulo de rotação necessário para eliminar o termo misto x'^2 + y'^2 + (termos lineares e constantes ajustados) = 0 é . A equação equivalente sem o termo misto fica:
Após simplificar completamente, a curva resultante é um círculo deslocado no plano .

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