Para cada equação dada, determine o ângulo de rotação que elimina o termo misto, reescreva a equação equivalente desprovida do termo misto e esboce a curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o ângulo de rotação que elimina o termo misto na equação quadrática dada. A matéria que vamos usar aqui é a rotação de eixos para simplificar equações de segundo grau. Para resolver, vamos precisar entender como calcular esse ângulo e depois aplicar a rotação para reescrever a equação sem o termo misto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação geral da conic section:
No nosso caso, a equação é:
Então, temos:
Passo 3
Agora, para encontrar o ângulo de rotação
que elimina o termo misto
, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Como a divisão por zero indica que
tende ao infinito, isso significa que
, então:
Passo 4
Com o ângulo de rotação
, vamos mudar as coordenadas usando as fórmulas de rotação:
Como
,
. Substituindo na equação original:
Passo 5
Simplificando a equação acima, observamos que o termo
será eliminado devido à escolha do ângulo de rotação. Após simplificar todos os termos, a equação equivalente sem o termo misto fica:
Continuando a simplificação, podemos reorganizar para identificar a natureza da curva.
Resposta
O ângulo de rotação necessário para eliminar o termo misto
é
. A equação equivalente sem o termo misto fica:
Após simplificar completamente, a curva resultante é um círculo deslocado no plano
.