Determine a equação da elipse tangente aos eixos coordenados e cujo centro está na interseção das retas
e
. Esboce a elipse indicando os vértices e os focos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que seja tangente aos eixos coordenados (isto é, aos eixos x e y) e cujo centro está na interseção das retas
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre equações de elipses, propriedades de tangentes e coordenadas de pontos de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do centro da elipse. O centro está na interseção das retas
e
. Para achar esse ponto, vamos resolver o sistema de equações:
Igualando as duas expressões para y:
Resolvendo para x:
Agora, substituímos o valor de x em uma das equações para encontrar y:
Então, o centro da elipse é o ponto
.
Passo 3
Sabemos que a equação geral de uma elipse com centro em
é:
Onde:
-
é o semi-eixo maior, -
é o semi-eixo menor.
Como a elipse é tangente aos eixos coordenados, vamos entender o que isso implica. Ser tangente aos eixos significa que a elipse toca os eixos x e y em exatamente um ponto cada.
Passo 4
Vamos considerar que a elipse é tangente ao eixo x. Isso ocorre quando a distância do centro ao eixo x é igual a
, pois
representa o semi-eixo vertical. Do mesmo modo, para ser tangente ao eixo y, a distância do centro ao eixo y deve ser igual a
.
No nosso caso, o centro
está a uma distância de 5 unidades do eixo x e 4 unidades do eixo y. Portanto:
Passo 5
Agora que temos os valores de
e
, podemos substituir na equação geral da elipse:
Essa é a equação da elipse solicitada.
Passo 6
Para esboçar a elipse, vamos identificar os vértices e os focos.
Os vértices estão localizados a uma distância
e
do centro ao longo dos eixos da elipse. Neste caso:
- Vértices no eixo x:
→ e - Vértices no eixo y:
→ e
Para encontrar os focos, usamos a relação
:
Então, os focos estão a 3 unidades do centro ao longo do eixo y:
Resposta
A equação da elipse é:
Os vértices da elipse são
,
,
e
. Os focos estão nos pontos
e
.