Determine a equação da elipse tangente aos eixos coordenados e cujo centro está na interseção das retas y=9-x e y=x+1. Esboce a elipse indicando os vértices e os focos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que seja tangente aos eixos coordenados (isto é, aos eixos x e y) e cujo centro está na interseção das retas e . Para isso, vamos usar conhecimentos sobre equações de elipses, propriedades de tangentes e coordenadas de pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do centro da elipse. O centro está na interseção das retas y = 9 - x y = x + 1 e 9 - x = x + 1 . Para achar esse ponto, vamos resolver o sistema de equações:
9 - 1 = x + x 8 = 2x x = 4
Igualando as duas expressões para y:
y = 4 + 1 = 5
Resolvendo para x:
Agora, substituímos o valor de x em uma das equações para encontrar y:
Então, o centro da elipse é o ponto .

Passo 3

Sabemos que a equação geral de uma elipse com centro em (x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1 é:
Onde:
  • é o semi-eixo maior,
  • é o semi-eixo menor.
Como a elipse é tangente aos eixos coordenados, vamos entender o que isso implica. Ser tangente aos eixos significa que a elipse toca os eixos x e y em exatamente um ponto cada.

Passo 4

Vamos considerar que a elipse é tangente ao eixo x. Isso ocorre quando a distância do centro ao eixo x é igual a b = 5 a = 4 , pois representa o semi-eixo vertical. Do mesmo modo, para ser tangente ao eixo y, a distância do centro ao eixo y deve ser igual a .
No nosso caso, o centro está a uma distância de 5 unidades do eixo x e 4 unidades do eixo y. Portanto:

Passo 5

Agora que temos os valores de (x - 4)^24^2 + (y - 5)^25^2 = 1 (x - 4)^216 + (y - 5)^225 = 1 e , podemos substituir na equação geral da elipse:
Essa é a equação da elipse solicitada.

Passo 6

Para esboçar a elipse, vamos identificar os vértices e os focos.
Os vértices estão localizados a uma distância c^2 = 25 - 16 = 9 c = 3 e (4, 5 pm 3) Rightarrow (4, 2) e (4, 8) do centro ao longo dos eixos da elipse. Neste caso:
  • Vértices no eixo x: e
  • Vértices no eixo y: e
Para encontrar os focos, usamos a relação :
Então, os focos estão a 3 unidades do centro ao longo do eixo y:

Resposta

A equação da elipse é:
(x - 4)^216 + (y - 5)^225 = 1
Os vértices da elipse são , , e . Os focos estão nos pontos e .

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