Quais dos conjuntos abaixo são linearmente indepentes (LI)? Justifique.
(a) (1,2),(2,-1) em R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto de vetores em é linearmente independente. Isso envolve entender o que significa os vetores serem linearmente independentes e como podemos testar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto de vetores linearmente independentes (LI). Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se só tiver a solução e , então os vetores são LI.

Passo 3

Agora, vamos montar as equações a partir da combinação linear:
alpha(1,2) + beta(2,-1) = (0,0)
Isso nos dá o sistema:
alpha + 2beta = 0 2alpha - beta = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos isolar alpha = -2beta :
2(-2beta) - beta = 0 Rightarrow -4beta - beta = 0 Rightarrow -5beta = 0 Rightarrow beta = 0
Substituindo na segunda equação:
E, consequentemente, .

Passo 5

Como a única solução para e é e , isso significa que os vetores não têm combinações lineares diferentes de zero que resultam no vetor zero. Portanto, eles são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto em é linearmente independente.

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