Quais dos conjuntos abaixo são linearmente indepentes (LI)? Justifique.
(a)
em
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto de vetores
em
é linearmente independente. Isso envolve entender o que significa os vetores serem linearmente independentes e como podemos testar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto de vetores linearmente independentes (LI). Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se
só tiver a solução
e
, então os vetores são LI.
Passo 3
Agora, vamos montar as equações a partir da combinação linear:
Isso nos dá o sistema:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos isolar
:
Substituindo na segunda equação:
E, consequentemente,
.
Passo 5
Como a única solução para
e
é
e
, isso significa que os vetores não têm combinações lineares diferentes de zero que resultam no vetor zero. Portanto, eles são linearmente independentes.
Resposta
O conjunto
em
é linearmente independente.