Utilizando os subespaços A, B e C, com as seguintes bases, respectivamente,
SA=[l 1 0 1 ] ;[c -1 0 0 ] ;[l 1 1 1 ] SB=[c 1 2 -1 ] ;[c 1 -1 1 ] ;[l 0 0 1 ] SC[l 1 2 3 ] ;[l 0 1 0 ] ;[l 2 1 1 ]
e a transformação linear dada por L(lx y z)=[c2 x-y 2 z+y 2 y-x+z] :
Encontre o vetor v após passar pela transformação linear, L(v), e as coordenadas desse novo vetor para cada uma das bases.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que envolve subespaços A, B e C, cada um com uma base específica, e uma transformação linear que transforma vetores de . O objetivo é encontrar como um vetor fica depois de passar por essa transformação, ou seja, , e descobrir as coordenadas desse novo vetor em cada uma das bases , e . Para resolver isso, a gente vai precisar entender como funciona uma transformação linear e como mudar de base, ou seja, encontrar as coordenadas de um vetor em diferentes bases.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação linear x y z no vetor L( x y z ) = 2x - y 2z + y 2y - x + z . Suponhamos que 2x - y 2z + y 2y - x + z .
A transformação é definida por:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas de SA = 1 0 1 , -1 0 0 , 1 1 1 na base L(v) = c1 1 0 1 + c2 -1 0 0 + c3 1 1 1 . A base 2x - y = c1 - c2 + c3 2z + y = 0c1 + 0c2 + c3 2y - x + z = c1 + 0c2 + c3 é composta pelos vetores:
Queremos encontrar escalares tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos em termos de .

Passo 4

Fazendo a mesma coisa para a base SB = 1 2 -1 , 1 -1 1 , 0 0 1 , que é:
L(v) = d1 1 2 -1 + d2 1 -1 1 + d3 0 0 1
Queremos encontrar tais que:
Isso também nos leva a um sistema de equações que resolvemos para encontrar .

Passo 5

Por fim, vamos calcular as coordenadas de SC = 1 2 3 , 0 1 0 , 2 1 1 na base L(v) = e1 1 2 3 + e2 0 1 0 + e3 2 1 1 :
Buscamos escalares tais que:
Mais uma vez, montamos e resolvemos o sistema de equações para achar .

Resposta

Após aplicar a transformação linear 2x - y 2z + y 2y - x + z no vetor , obtemos . As coordenadas desse vetor nas bases , e são dadas pelos conjuntos de escalares , e respectivamente, encontrados resolvendo os sistemas de equações apresentados em cada passo.

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