Para cada equação determine
.
.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado da questão: precisamos determinar a derivada
da equação
. O conteúdo que estaremos trabalhando aqui é o cálculo das derivadas implícitas, que é usado quando temos uma relação entre
e
que não é dada de forma explícita. Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, que são fundamentos básicos da derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a derivação. Temos:
Agora, precisamos derivar ambos os lados em relação a
. Lembre-se que, ao derivar
, vamos usar a regra da cadeia porque
é uma função de
. Vamos derivar cada parte da equação:
-
A derivada de
, usando a regra da cadeia, é: - Derivada do lado de fora:
. - Derivada do lado de dentro:
(porque a derivada de é ).
Então, a derivada total é:
- Derivada do lado de fora:
-
A próxima parte é
. Aqui precisamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de um produto é:
ondee . Portanto:
-.
-(já que é uma função de ). Então, derivando, obtemos: -
Por último, a derivada de
é simplesmente .
Agora, juntando tudo, temos a derivada da equação original:
Passo 3
Agora vamos reorganizar a equação para isolar
. Primeiro, vamos levar todos os termos que não incluem
para o outro lado da equação:
Agora, vamos simplificar o lado direito:
Por fim, para encontrar
, basta dividir ambos os lados por
:
Resposta
Portanto, a derivada
é dada por:
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Determine a derivada:
.
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, em
.
Nos exercícios de 6 a 11 calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.