Para cada equação determine .
.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado da questão: precisamos determinar a derivada da equação . O conteúdo que estaremos trabalhando aqui é o cálculo das derivadas implícitas, que é usado quando temos uma relação entre e que não é dada de forma explícita. Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, que são fundamentos básicos da derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a derivação. Temos:
Agora, precisamos derivar ambos os lados em relação a . Lembre-se que, ao derivar , vamos usar a regra da cadeia porque é uma função de . Vamos derivar cada parte da equação:
  1. A derivada de , usando a regra da cadeia, é:
    • Derivada do lado de fora: .
    • Derivada do lado de dentro: (porque a derivada de é ).
      Então, a derivada total é:
  2. A próxima parte é . Aqui precisamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de um produto é:

    onde e . Portanto:
    - .
    - (já que é uma função de ).
    Então, derivando , obtemos:
  3. Por último, a derivada de é simplesmente .
Agora, juntando tudo, temos a derivada da equação original:

Passo 3

Agora vamos reorganizar a equação para isolar . Primeiro, vamos levar todos os termos que não incluem para o outro lado da equação:
Agora, vamos simplificar o lado direito:
Por fim, para encontrar , basta dividir ambos os lados por :

Resposta

Portanto, a derivada é dada por:

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Determine a derivada:
.
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