Um time de beisebol joga em um estádio com capacidade para 55000 espectadores. Com o preço do ingresso a , a média de público tem sido de 27000 . Observa-se que quando o valor do ingresso diminui em , a média de público sobe 3000 . Qual deve ser o preço dos ingressos para maximizar a receita?

Passo 1

Então, o problema é o seguinte: temos um time de beisebol que joga em um estádio com capacidade para 55.000 pessoas. Quando o ingresso custa $10, em média 27.000 pessoas vão ao jogo. Notamos que, para cada redução de $1 no preço do ingresso, a média de público aumenta 3.000 pessoas. Queremos descobrir qual deve ser o preço dos ingressos para que a receita seja máxima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matemática relacionados à otimização de funções de receita.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma variável para facilitar. Vamos chamar de x a quantidade de dólares que vamos diminuir do preço original do ingresso. Ou seja, se diminuirmos $1, então x = 1.

Passo 3

Com isso, o novo preço do ingresso será $10 - x. E a nova média de público será 27.000 + 3.000x. Isso porque, para cada dólar que diminuímos, mais 3.000 pessoas vão querer assistir ao jogo.

Passo 4

A receita total (R) é calculada multiplicando o preço do ingresso pela quantidade de pessoas que vão ao jogo. Então, temos:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão para facilitar os cálculos:

Passo 6

Agora, temos uma função quadrática da forma:
Essa função representa uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de é negativo), o que significa que o ponto mais alto dela será o valor máximo da receita.

Passo 7

Para encontrar o valor de x que maximiza a receita, usamos a fórmula do vértice da parábola:
Onde e .
Substituindo na fórmula:

Passo 8

Agora que sabemos que x = 0,5, podemos calcular o preço ideal do ingresso:
ç
E a média de público será:
ú

Resposta

Para maximizar a receita, o preço dos ingressos deve ser de $9,50.

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Resolva as equações diferenciais pelo método de coeficientes a determinar.
Derive:
.
Determine a derivada:
.
Para cada equação determine .
.