Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto indicado:
, em .

Passo 1

Vamos resumir o enunciado da questão. Temos a curva definida pela equação e precisamos encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto . O conteúdo da matéria que estamos usando aqui envolve derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação de uma curva em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar da derivada implícita da função dada e da fórmula da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação dada para facilitar o cálculo. A equação é:
Para encontrar a reta tangente, precisamos obter a derivada da função implícita. Vamos calcular a derivada em relação a . Para fazer isso, precisamos derivar ambos os lados da equação. Lembre-se que quando temos , precisamos usar a regra da cadeia, que nos diz que quando derivamos , devemos multiplicar pela derivada de em relação a , que chamaremos de .
Derivando o lado esquerdo:
  • A derivada de em relação a é .
  • Para a parte , usamos a regra da cadeia. A derivada é .
Assim, a derivada do lado esquerdo da equação é:
Agora, derivamos o lado direito:
  • A derivada de é .
Então, temos a equação da derivada:
Vamos resolver essa equação para :
Agora, isolando :

Passo 3

Agora que temos a derivada, precisamos calcular o valor de no ponto . Vamos substituir e na equação que encontramos para :
Isso significa que a inclinação da reta tangente no ponto é .
Agora podemos usar a fórmula da reta tangente, que tem a forma , onde é o ponto onde a reta tangente toca a curva e é a inclinação. Usando o ponto e a inclinação encontrada:
Simplificando a expressão:

Resposta

Portanto, a equação da reta tangente à curva no ponto é:
Ou, se preferir deixar na forma geral:

Exercícios relacionados

Para cada equação determine .
.
Determine a derivada:
.
Nos exercícios de 6 a 11 calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Calcule a integral iterada: