Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto
indicado:
, em
.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado da questão. Temos a curva definida pela equação
e precisamos encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto
. O conteúdo da matéria que estamos usando aqui envolve derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação de uma curva em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar da derivada implícita da função dada e da fórmula da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação dada para facilitar o cálculo. A equação é:
Para encontrar a reta tangente, precisamos obter a derivada da função implícita. Vamos calcular a derivada em relação a
. Para fazer isso, precisamos derivar ambos os lados da equação. Lembre-se que quando temos
, precisamos usar a regra da cadeia, que nos diz que quando derivamos
, devemos multiplicar pela derivada de
em relação a
, que chamaremos de
.
Derivando o lado esquerdo:
- A derivada de
em relação a é . - Para a parte
, usamos a regra da cadeia. A derivada é .
Assim, a derivada do lado esquerdo da equação é:
Agora, derivamos o lado direito:
- A derivada de
é .
Então, temos a equação da derivada:
Vamos resolver essa equação para
:
Agora, isolando
:
Passo 3
Agora que temos a derivada, precisamos calcular o valor de
no ponto
. Vamos substituir
e
na equação que encontramos para
:
Isso significa que a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Agora podemos usar a fórmula da reta tangente, que tem a forma
, onde
é o ponto onde a reta tangente toca a curva e
é a inclinação. Usando o ponto
e a inclinação encontrada:
Simplificando a expressão:
Resposta
Portanto, a equação da reta tangente à curva no ponto
é:
Ou, se preferir deixar na forma geral:
Exercícios relacionados
Para cada equação determine
.
.
Determine a derivada:
.
Nos exercícios de 6 a 11 calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Calcule a integral iterada: