Em cada equação, encontre e exiba duas soluções, e , e prove ser um conjunto fundamental de soluções (ou seja, que o Wronskiano para o par de soluções encontrado é não nulo e basta que seja para algum ). Além disso, resolva os problemas de valores iniciais que aparecerem.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-la, vamos precisar encontrar duas soluções independentes, e , que formam um conjunto fundamental. Depois, usaremos as condições iniciais para determinar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à equação diferencial:
Resolvendo para :
Aqui, temos raízes complexas, o que significa que as soluções gerais serão funções trigonométricas.
Passo 3
Com as raízes , as soluções gerais da equação diferencial são:
Essas duas funções são soluções independentes da equação diferencial.
Passo 4
Agora, vamos provar que e formam um conjunto fundamental de soluções. Para isso, calculamos o Wronskiano dessas funções:
[
W(y_1, y_2) =
]
Calculando o determinante:
O Wronskiano é , que é diferente de zero, o que confirma que e são soluções lineares independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução geral da equação diferencial usando o conjunto fundamental:
Onde e são constantes que precisamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, use :
Segundo, use . Primeiro, calcule a derivada de :
Agora, aplique :
Passo 7
Agora que temos e , substituímos de volta na solução geral:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: