(3-3) Find an equation of the plane.
23. The plane through the point
and perpendicular to the vector
23. The plane through the point
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto
e é perpendicular ao vetor
. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com equações de planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar saber como usar um ponto e um vetor normal para definir o plano.
Passo 2
Primeiro, lembra que a equação geral de um plano pode ser escrita usando um ponto
que está no plano e um vetor normal
que é perpendicular ao plano. A fórmula é:
Isso significa que qualquer ponto
que satisfizer essa equação estará no plano.
Passo 3
No nosso caso, o ponto dado é
, então
,
e
. O vetor normal é
, ou seja,
,
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa equação passo a passo:
- Distribuir os coeficientes:
- Somar os termos constantes:
- Para deixar a equação mais bonita, podemos multiplicar todos os termos por
:
Resposta
A equação do plano é: