(3-3) Find an equation of the plane.
23. The plane through the point 6, 3, 2 and perpendicular to the vector <-2, 1, 5>

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto 6, 3, 2 e é perpendicular ao vetor <-2, 1, 5>. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com equações de planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar saber como usar um ponto e um vetor normal para definir o plano.

Passo 2

Primeiro, lembra que a equação geral de um plano pode ser escrita usando um ponto que está no plano e um vetor normal que é perpendicular ao plano. A fórmula é:
Isso significa que qualquer ponto (x, y, z) que satisfizer essa equação estará no plano.

Passo 3

No nosso caso, o ponto dado é 6, 3, 2, então , e . O vetor normal é <-2, 1, 5>, ou seja, , e . Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação passo a passo:
  1. Distribuir os coeficientes:
  1. Somar os termos constantes:
  1. Para deixar a equação mais bonita, podemos multiplicar todos os termos por -1:

Resposta

A equação do plano é:

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