Em cada equação, encontre e exiba duas soluções, y1(t) e y2(t), e prove ser um conjunto fundamental de soluções (ou seja, que o Wronskiano para o par de soluções encontrado é não nulo e basta que seja para algum t0 ). Além disso, resolva os problemas de valores iniciais que aparecerem.
a) y'' - 5y' - 6y = 0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial:
O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver essa equação, vamos precisar encontrar duas soluções lineares independentes, chamadas e , e mostrar que elas formam um conjunto fundamental de soluções verificando que o Wronskiano delas não é zero em algum ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo na equação original:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de .
Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas raízes distintas:

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever as duas soluções gerais da equação diferencial:
Essas são soluções lineares independentes porque seus exponenciais têm bases diferentes.

Passo 5

Agora, vamos verificar se e formam um conjunto fundamental de soluções calculando o Wronskiano:

[ W(y_1, y_2)(t) =


= e^{6t} \cdot (-e^{-t}) - e^{-t} \cdot 6e^{6t} ]
O Wronskiano é diferente de zero para todo , o que confirma que e são soluções linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental de soluções.

Resposta

As duas soluções são:
E elas formam um conjunto fundamental de soluções, já que o Wronskiano é sempre diferente de zero.

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