Em cada equação, encontre e exiba duas soluções, e , e prove ser um conjunto fundamental de soluções (ou seja, que o Wronskiano para o par de soluções encontrado é não nulo e basta que seja para algum ). Além disso, resolva os problemas de valores iniciais que aparecerem.
a)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a equação diferencial:
O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver essa equação, vamos precisar encontrar duas soluções lineares independentes, chamadas e , e mostrar que elas formam um conjunto fundamental de soluções verificando que o Wronskiano delas não é zero em algum ponto .
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo na equação original:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de .
Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas raízes distintas:
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever as duas soluções gerais da equação diferencial:
Essas são soluções lineares independentes porque seus exponenciais têm bases diferentes.
Passo 5
Agora, vamos verificar se e formam um conjunto fundamental de soluções calculando o Wronskiano:
[ W(y_1, y_2)(t) =
= e^{6t} \cdot (-e^{-t}) - e^{-t} \cdot 6e^{6t} ]
O Wronskiano é diferente de zero para todo , o que confirma que e são soluções linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental de soluções.
Resposta
As duas soluções são:
E elas formam um conjunto fundamental de soluções, já que o Wronskiano é sempre diferente de zero.