(15) (a) Find symmetric equations for the line that passes through the point (1, -5, 6) and is parallel to the vector <-1, 2, -3>.
(b) Find the points in which the required line in part (a) intersects the coordinate planes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as equações simétricas de uma reta no espaço que passa pelo ponto e é paralela ao vetor . Além disso, na parte (b), precisamos descobrir onde essa reta intercepta os planos coordenados. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e equações de reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como montar a equação simétrica de uma reta. Se sabemos que a reta passa por um ponto e é direcionada pelo vetor , então as equações paramétricas da reta são:
Para transformar isso em equações simétricas, isolamos o parâmetro t em cada equação:

Passo 3

Aplicando isso ao nosso problema, temos:
  • Ponto , então , , .
  • Vetor diretor , então , , .
Substituindo esses valores na fórmula das equações simétricas:
Podemos simplificar os sinais para ficar mais elegante:

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos encontrar os pontos de interseção da reta com os planos coordenados:
  1. Plano XY ( ):
    • Usamos a equação paramétrica de z: .
    • Igualando a zero: .
    • Substituímos nas equações de x e y:
    • Ponto de interseção: .
  2. Plano XZ ( ):
    • Usamos a equação paramétrica de y: .
    • Igualando a zero: .
    • Substituímos nas equações de x e z:
    • Ponto de interseção: .
  3. Plano YZ ( x = 0):
    • Usamos a equação paramétrica de x: .
    • Igualando a zero: .
    • Substituímos nas equações de y e z:
    • Ponto de interseção: .

Resposta

(a) As equações simétricas da reta são:
(b) Os pontos de interseção da reta com os planos coordenados são:
  • Plano XY:
  • Plano XZ:
  • Plano YZ:

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