(15) (a) Find symmetric equations for the line that passes through the point and is parallel to the vector .
(b) Find the points in which the required line in part (a) intersects the coordinate planes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as equações simétricas de uma reta no espaço que passa pelo ponto e é paralela ao vetor . Além disso, na parte (b), precisamos descobrir onde essa reta intercepta os planos coordenados. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e equações de reta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como montar a equação simétrica de uma reta. Se sabemos que a reta passa por um ponto e é direcionada pelo vetor , então as equações paramétricas da reta são:
Para transformar isso em equações simétricas, isolamos o parâmetro t em cada equação:
Passo 3
Aplicando isso ao nosso problema, temos:
Ponto , então , , .
Vetor diretor , então , , .
Substituindo esses valores na fórmula das equações simétricas:
Podemos simplificar os sinais para ficar mais elegante:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos encontrar os pontos de interseção da reta com os planos coordenados:
Plano XY ():
Usamos a equação paramétrica de z: .
Igualando a zero: .
Substituímos nas equações de x e y:
Ponto de interseção: .
Plano XZ ():
Usamos a equação paramétrica de y: .
Igualando a zero: .
Substituímos nas equações de x e z:
Ponto de interseção: .
Plano YZ (x = 0):
Usamos a equação paramétrica de x: .
Igualando a zero: .
Substituímos nas equações de y e z:
Ponto de interseção: .
Resposta
(a) As equações simétricas da reta são:
(b) Os pontos de interseção da reta com os planos coordenados são: