Em cada equação, encontre e exiba duas soluções, e , e prove ser um conjunto fundamental de soluções (ou seja, que o Wronskiano para o par de soluções encontrado é não nulo e basta que seja para algum ). Além disso, resolva os problemas de valores iniciais que aparecerem.
b)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede: temos a equação diferencial e precisamos encontrar duas soluções e dela. Além disso, precisamos provar que essas soluções formam um conjunto fundamental, ou seja, que o Wronskiano delas é diferente de zero para algum valor de . Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes, especificamente encontrando as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é . No nosso caso:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes:
Como o discriminante é negativo (), as raízes são complexas:
Passo 4
Quando as raízes da equação característica são complexas, da forma , as soluções da equação diferencial são:
Substituindo e :
Passo 5
Para provar que e formam um conjunto fundamental de soluções, precisamos calcular o Wronskiano e mostrar que ele não é zero para algum .
O Wronskiano é definido como:
Vamos calcular as derivadas:
Agora, substituindo no determinante:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Como nunca é zero, temos que para todo . Portanto, e são soluções linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções.
Resposta
As duas soluções são e , e o Wronskiano é diferente de zero, comprovando que elas formam um conjunto fundamental de soluções.