Em cada equação, encontre e exiba duas soluções, e , e prove ser um conjunto fundamental de soluções (ou seja, que o Wronskiano para o par de soluções encontrado é não nulo e basta que seja para algum ). Além disso, resolva os problemas de valores iniciais que aparecerem.
b)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede: temos a equação diferencial e precisamos encontrar duas soluções e dela. Além disso, precisamos provar que essas soluções formam um conjunto fundamental, ou seja, que o Wronskiano delas é diferente de zero para algum valor de . Para resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes, especificamente encontrando as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é . No nosso caso:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes:
Como o discriminante é negativo ( ), as raízes são complexas:

Passo 4

Quando as raízes da equação característica são complexas, da forma , as soluções da equação diferencial são:
Substituindo e :

Passo 5

Para provar que e formam um conjunto fundamental de soluções, precisamos calcular o Wronskiano e mostrar que ele não é zero para algum .
O Wronskiano é definido como:
Vamos calcular as derivadas:
Agora, substituindo no determinante:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Como nunca é zero, temos que para todo . Portanto, e são soluções linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções.

Resposta

As duas soluções são e , e o Wronskiano é diferente de zero, comprovando que elas formam um conjunto fundamental de soluções.

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Verifique que a equação abaixo é exata e encontre uma solução geral , que é dada implicitamente pela equação
É possível explicitar a solução encontrada? Se sim, explicite-a como função de e encontre o maior intervalo para o qual a solução seja válida.
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Calcule o wronskiano dos pares de soluções abaixo e diga quais formam um conjunto fundamental de soluções.
a) e .
Utilize o método dos fatores integrantes para resolver as equações e PVIb)