Calcule o wronskiano dos pares de soluções abaixo e diga quais formam um conjunto fundamental de soluções.
a) e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o wronskiano dos pares de soluções dadas e dizer quais formam um conjunto fundamental de soluções. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, e o wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a verificar se as soluções são linearmente independentes, ou seja, se formam um conjunto fundamental. Para resolver, vamos precisar das funções fornecidas e das suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o wronskiano. Para duas funções e , o wronskiano é definido como:
Isso significa que calculamos o determinante da matriz formada por , e suas derivadas.
Passo 3
Vamos identificar as funções e suas derivadas:
Agora, vamos calcular as derivadas de cada uma:
Passo 4
Com as funções e suas derivadas, montamos a matriz para calcular o wronskiano:
Passo 5
Vamos calcular o determinante dessa matriz:
Passo 6
O wronskiano calculado é zero:
Passo 7
Quando o wronskiano é zero para todo , isso indica que as funções são linearmente dependentes. Ou seja, uma função é múltiplo da outra. No nosso caso, , o que confirma essa dependência.
Resposta
O wronskiano das funções dadas é zero, ou seja, . Portanto, as funções e são linearmente dependentes e não formam um conjunto fundamental de soluções.