Calcule o wronskiano dos pares de soluções abaixo e diga quais formam um conjunto fundamental de soluções.
a) e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o wronskiano dos pares de soluções dadas e dizer quais formam um conjunto fundamental de soluções. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, e o wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a verificar se as soluções são linearmente independentes, ou seja, se formam um conjunto fundamental. Para resolver, vamos precisar das funções fornecidas e das suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o wronskiano. Para duas funções e , o wronskiano é definido como:
Isso significa que calculamos o determinante da matriz formada por , e suas derivadas.

Passo 3

Vamos identificar as funções e suas derivadas:
Agora, vamos calcular as derivadas de cada uma:

Passo 4

Com as funções e suas derivadas, montamos a matriz para calcular o wronskiano:

Passo 5

Vamos calcular o determinante dessa matriz:

Passo 6

O wronskiano calculado é zero:

Passo 7

Quando o wronskiano é zero para todo , isso indica que as funções são linearmente dependentes. Ou seja, uma função é múltiplo da outra. No nosso caso, , o que confirma essa dependência.

Resposta

O wronskiano das funções dadas é zero, ou seja, . Portanto, as funções e são linearmente dependentes e não formam um conjunto fundamental de soluções.

Exercícios relacionados

Em cada equação, encontre e exiba duas soluções, e , e prove ser um conjunto fundamental de soluções (ou seja, que o Wronskiano para o par de soluções encontrado é não nulo e basta que seja para algum ). Além disso, resolva os problemas de valores iniciais que aparecerem.
b)
Verifique que a equação abaixo é exata e encontre uma solução geral , que é dada implicitamente pela equação
É possível explicitar a solução encontrada? Se sim, explicite-a como função de e encontre o maior intervalo para o qual a solução seja válida.
Utilize o método dos fatores integrantes para resolver as equações e PVIb)
Use a substituição para resolver a seguinte equação diferencial ordinária homogênea