Utilize o método dos fatores integrantes para resolver as equações e PVIb)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem que utiliza o método dos fatores integrantes para resolver. A equação é:
E a condição inicial é . Para resolver isso, vamos precisar rearranjar a equação para a forma padrão de uma equação linear e então encontrar o fator integrante que nos ajudará a solucionar a equação.

Passo 2

Vamos começar dividindo toda a equação por para simplificar e colocá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear . Assim:

Passo 3

Agora, identificamos e . O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos a equação toda pelo fator integrante :
Perceba que isso nos retorna à equação original, o que confirma que nosso fator integrante está correto.

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada de :
Para encontrar , vamos integrar ambos os lados em relação a :

Passo 6

Agora, isolamos :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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Calcule o wronskiano dos pares de soluções abaixo e diga quais formam um conjunto fundamental de soluções.
a) e .
Em cada equação, encontre e exiba duas soluções, e , e prove ser um conjunto fundamental de soluções (ou seja, que o Wronskiano para o par de soluções encontrado é não nulo e basta que seja para algum ). Além disso, resolva os problemas de valores iniciais que aparecerem.
b)
Use a substituição para resolver a seguinte equação diferencial ordinária homogênea
Em cada equação, encontre e exiba duas soluções, e , e prove ser um conjunto fundamental de soluções (ou seja, que o Wronskiano para o par de soluções encontrado é não nulo e basta que seja para algum ). Além disso, resolva os problemas de valores iniciais que aparecerem.
c)