Utilize o método dos fatores integrantes para resolver as equações e PVIb)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem que utiliza o método dos fatores integrantes para resolver. A equação é:
E a condição inicial é
. Para resolver isso, vamos precisar rearranjar a equação para a forma padrão de uma equação linear e então encontrar o fator integrante que nos ajudará a solucionar a equação.
Passo 2
Vamos começar dividindo toda a equação por
para simplificar e colocá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear
. Assim:
Passo 3
Agora, identificamos
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos a equação toda pelo fator integrante
:
Perceba que isso nos retorna à equação original, o que confirma que nosso fator integrante está correto.
Passo 5
A equação agora pode ser escrita como a derivada de
:
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Exercícios relacionados
Calcule o wronskiano dos pares de soluções abaixo e diga quais formam um conjunto fundamental de soluções.
a) e
.
a)
Em cada equação, encontre e exiba duas soluções,
e
, e prove ser um conjunto fundamental de soluções (ou seja, que o Wronskiano para o par de soluções encontrado é não nulo e basta que seja para algum
). Além disso, resolva os problemas de valores iniciais que aparecerem.
b)
b)
Use a substituição
para resolver a seguinte equação diferencial ordinária homogênea
Em cada equação, encontre e exiba duas soluções,
e
, e prove ser um conjunto fundamental de soluções (ou seja, que o Wronskiano para o par de soluções encontrado é não nulo e basta que seja para algum
). Além disso, resolva os problemas de valores iniciais que aparecerem.
c)
c)