Utilize o método dos fatores integrantes para resolver as equações e PVIb) t^2 y' + 2 t y = cos(t), t > 0; y(pi) = 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem que utiliza o método dos fatores integrantes para resolver. A equação é:
E a condição inicial é . Para resolver isso, vamos precisar rearranjar a equação para a forma padrão de uma equação linear e então encontrar o fator integrante que nos ajudará a solucionar a equação.

Passo 2

Vamos começar dividindo toda a equação por para simplificar e colocá-la na forma padrão de uma equação diferencial linear . Assim:

Passo 3

Agora, identificamos e . O próximo passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos a equação toda pelo fator integrante :
Perceba que isso nos retorna à equação original, o que confirma que nosso fator integrante está correto.

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada de :
Para encontrar , vamos integrar ambos os lados em relação a :

Passo 6

Agora, isolamos :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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