Verifique que a equação abaixo é exata e encontre uma solução geral y = y(x), que é dada implicitamente pela equação Ψ(x, y(x)) = c
(2x - y) + (2y - x) * y' = 0, y(1) = 3
É possível explicitar a solução encontrada? Se sim, explicite-a como função de x e encontre o maior intervalo para o qual a solução seja válida.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial que a gente precisa verificar se ela é exata. Depois, encontrar uma solução geral da forma que satisfaz . Além disso, queremos saber se dá pra escrever explicitamente em função de e descobrir o maior intervalo onde a solução vale. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada:
Podemos reorganizar isso para a forma padrão de uma equação diferencial:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função potencial tal que:
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de .

Passo 5

Agora, vamos determinar usando :
Igualando as duas expressões:
Integrando em relação a :
Onde é uma constante de integração que podemos ignorar na função potencial.

Passo 6

Assim, a função potencial fica:
A solução geral da equação diferencial é então:

Passo 7

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de :
Portanto, a equação específica é:

Passo 8

Para ver se dá pra expressar explicitamente em função de , vamos resolver a equação quadrática em :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Para que a raiz seja real, o discriminante precisa ser não negativo:

Passo 9

Aplicando a condição inicial , vemos que escolhemos o sinal positivo na solução:
Portanto, a solução explícita é:
E o maior intervalo onde essa solução é válida é:

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por . É possível escrever explicitamente como função de :
E essa solução é válida para todos os no intervalo .

Exercícios relacionados