Verifique que a equação abaixo é exata e encontre uma solução geral
, que é dada implicitamente pela equação
É possível explicitar a solução encontrada? Se sim, explicite-a como função de
e encontre o maior intervalo para o qual a solução seja válida.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial que a gente precisa verificar se ela é exata. Depois, encontrar uma solução geral da forma
que satisfaz
. Além disso, queremos saber se dá pra escrever
explicitamente em função de
e descobrir o maior intervalo onde a solução vale. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial dada:
Podemos reorganizar isso para a forma padrão de uma equação diferencial:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
.
Passo 5
Agora, vamos determinar
usando
:
Igualando as duas expressões:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante de integração que podemos ignorar na função potencial.
Passo 6
Assim, a função potencial fica:
A solução geral da equação diferencial é então:
Passo 7
Vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Portanto, a equação específica é:
Passo 8
Para ver se dá pra expressar
explicitamente em função de
, vamos resolver a equação quadrática em
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Para que a raiz seja real, o discriminante
precisa ser não negativo:
Passo 9
Aplicando a condição inicial
, vemos que escolhemos o sinal positivo na solução:
Portanto, a solução explícita é:
E o maior intervalo onde essa solução é válida é:
Resposta
A solução geral é dada implicitamente por
. É possível escrever
explicitamente como função de
:
E essa solução é válida para todos os
no intervalo
.