Considere as quádricas abaixo.
. Quais curvas são formadas nas interseçōes dos planos
e
? Escreva suas equaçōes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma quádrica dada por
. O que a gente precisa descobrir são as curvas formadas quando essa superfície intersecta os planos
,
,
e
. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, substituindo as equações dos planos na equação da quádrica e resolvendo para encontrar as equações das curvas resultantes.
Passo 2
Vamos começar com a interseção da quádrica com o plano
. Nesse plano, a coordenada
é igual a zero, ou seja,
.
Substituindo
na equação da quádrica:
Agora, multiplicamos todos os termos por 36 (o mínimo múltiplo comum de 4 e 9) para eliminar os denominadores:
Para que essa equação seja satisfeita, temos que:
Então, a única solução é o ponto
. Portanto, a interseção é apenas o ponto de origem.
Passo 3
Agora, vamos ver a interseção com o plano
. Nesse plano, a coordenada
é igual a zero, ou seja,
.
Substituindo
na equação da quádrica:
Essa é a equação de uma parábola no plano
. Então, a curva de interseção é uma parábola definida por:
Passo 4
Vamos para a interseção com o plano
. Nesse plano, a coordenada
é igual a zero, ou seja,
.
Substituindo
na equação da quádrica:
Essa também é a equação de uma parábola, mas agora no plano
. Assim, a curva de interseção é uma parábola definida por:
Passo 5
Por último, vamos analisar a interseção com o plano
. Aqui,
é igual a 1.
Substituindo
na equação da quádrica:
Multiplicando todos os termos por 36 para simplificar:
Dividindo tudo por 36:
Essa é a equação de uma elipse no plano
. Portanto, a curva de interseção é uma elipse definida por:
Resposta
As curvas formadas nas interseções são:
- Plano
: Ponto . - Plano
: Parábola . - Plano
: Parábola . - Plano
: Elipse .
Exercícios relacionados
Considere as seguintes bases do
:
.
a) Calcular sabendo que
a) Calcular
Considere as quádricas abaixo.
. Quais as coordenadas dos pontos de interseçāo com os eixos
e
? Quais curvas sāo formadas nas interseçōes dos planos
e
? Escreva suas equaçōes.
Considere as seguintes bases do
:
.
b) Calcular sabendo que
b) Calcular
Para cada equaçāo a seguir:
(i) Identifique a quádrica.
(ii) Determine sua intersecçāo com os planos coordenados e
, separadamente.
(iii) Faça um esboço da quádrica.
(i) Identifique a quádrica.
(ii) Determine sua intersecçāo com os planos coordenados
(iii) Faça um esboço da quádrica.