Considere as quádricas abaixo. . Quais curvas são formadas nas interseçōes dos planos e ? Escreva suas equaçōes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma quádrica dada por . O que a gente precisa descobrir são as curvas formadas quando essa superfície intersecta os planos , , e . Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, substituindo as equações dos planos na equação da quádrica e resolvendo para encontrar as equações das curvas resultantes.

Passo 2

Vamos começar com a interseção da quádrica com o plano . Nesse plano, a coordenada é igual a zero, ou seja, .
Substituindo na equação da quádrica:
Agora, multiplicamos todos os termos por 36 (o mínimo múltiplo comum de 4 e 9) para eliminar os denominadores:
Para que essa equação seja satisfeita, temos que:
Então, a única solução é o ponto . Portanto, a interseção é apenas o ponto de origem.

Passo 3

Agora, vamos ver a interseção com o plano . Nesse plano, a coordenada é igual a zero, ou seja, .
Substituindo na equação da quádrica:
Essa é a equação de uma parábola no plano . Então, a curva de interseção é uma parábola definida por:

Passo 4

Vamos para a interseção com o plano . Nesse plano, a coordenada é igual a zero, ou seja, .
Substituindo na equação da quádrica:
Essa também é a equação de uma parábola, mas agora no plano . Assim, a curva de interseção é uma parábola definida por:

Passo 5

Por último, vamos analisar a interseção com o plano . Aqui, é igual a 1.
Substituindo na equação da quádrica:
Multiplicando todos os termos por 36 para simplificar:
Dividindo tudo por 36:
Essa é a equação de uma elipse no plano . Portanto, a curva de interseção é uma elipse definida por:

Resposta

As curvas formadas nas interseções são:
  • Plano : Ponto .
  • Plano : Parábola .
  • Plano : Parábola .
  • Plano : Elipse .

Exercícios relacionados

Considere as seguintes bases do :
.
a) Calcular sabendo que
Considere as quádricas abaixo. . Quais as coordenadas dos pontos de interseçāo com os eixos e ? Quais curvas sāo formadas nas interseçōes dos planos e ? Escreva suas equaçōes.
Considere as seguintes bases do :
.
b) Calcular sabendo que
Para cada equaçāo a seguir:
(i) Identifique a quádrica.
(ii) Determine sua intersecçāo com os planos coordenados e , separadamente.
(iii) Faça um esboço da quádrica.