Considere as quádricas abaixo. z=x^24+y^29. Quais curvas são formadas nas interseçōes dos planos x y, x z, y z e z=1 ? Escreva suas equaçōes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma quádrica dada por . O que a gente precisa descobrir são as curvas formadas quando essa superfície intersecta os planos , , e . Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, substituindo as equações dos planos na equação da quádrica e resolvendo para encontrar as equações das curvas resultantes.

Passo 2

Vamos começar com a interseção da quádrica com o plano 0 = x^24 + y^29 . Nesse plano, a coordenada 0 = 9x^2 + 4y^2 é igual a zero, ou seja, 9x^2 + 4y^2 = 0 implies x = 0 e y = 0 .
Substituindo na equação da quádrica:
Agora, multiplicamos todos os termos por 36 (o mínimo múltiplo comum de 4 e 9) para eliminar os denominadores:
Para que essa equação seja satisfeita, temos que:
Então, a única solução é o ponto . Portanto, a interseção é apenas o ponto de origem.

Passo 3

Agora, vamos ver a interseção com o plano z = x^24 + 0^29 implies z = x^24 . Nesse plano, a coordenada z = x^24 é igual a zero, ou seja, .
Substituindo na equação da quádrica:
Essa é a equação de uma parábola no plano . Então, a curva de interseção é uma parábola definida por:

Passo 4

Vamos para a interseção com o plano z = 0^24 + y^29 implies z = y^29 . Nesse plano, a coordenada z = y^29 é igual a zero, ou seja, .
Substituindo na equação da quádrica:
Essa também é a equação de uma parábola, mas agora no plano . Assim, a curva de interseção é uma parábola definida por:

Passo 5

Por último, vamos analisar a interseção com o plano 1 = x^24 + y^29 . Aqui, 36 = 9x^2 + 4y^2 é igual a 1.
Substituindo x^24 + y^29 = 1 na equação da quádrica:
x^24 + y^29 = 1
Multiplicando todos os termos por 36 para simplificar:
Dividindo tudo por 36:
Essa é a equação de uma elipse no plano . Portanto, a curva de interseção é uma elipse definida por:

Resposta

As curvas formadas nas interseções são:
  • Plano : Ponto .
  • Plano : Parábola .
  • Plano : Parábola .
  • Plano : Elipse .

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