Para cada uma das equações gerais a seguir, determinar a equação reduzida, o vértice, o foco, e uma equação da diretriz da parábola:
y^2+4 y+16 x-44=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado é sobre encontrar a equação reduzida, o vértice, o foco e a diretriz de uma parábola, dado a equação geral . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as parábolas e como transformar a equação geral em uma forma mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação das características da parábola. Queremos isolar os termos de y^2 + 4y + 16x - 44 = 0 .
Temos:
y^2 + 4y = -16x + 44
Vamos agrupar os termos de :

Passo 3

Agora, completamos o quadrado para os termos de ( 42 )^2 = 4 . Completar o quadrado ajuda a transformar a equação em uma forma padrão que facilita identificar o vértice.
Para completar o quadrado em y^2 + 4y + 4 - 4 = -16x + 44 , pegamos o coeficiente de (y + 2)^2 - 4 = -16x + 44 , que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:

Passo 4

Agora, isolamos o termo (y + 2)^2 = -16x + 48 :
(y + 2)^2 = -16(x - 3)
(y + 2)^2 = -16(x - 3)
Essa é a equação reduzida da parábola:

Passo 5

Identificamos o vértice da parábola a partir da equação reduzida. A forma geral é (y + 2)^2 = -16(x - 3) , onde (3, -2) é o vértice.
Comparando com a nossa equação:
Temos:
Então, o vértice é:

Passo 6

Para encontrar o foco, precisamos identificar o valor de p = -164 = -4 na equação reduzida. Na forma (h + p, k) = (3 - 4, -2) = (-1, -2) , então:
Como a parábola abre para a esquerda (porque o coeficiente de é negativo), o foco fica unidades à esquerda do vértice.
Então, o foco está em:

Passo 7

Por fim, a diretriz é uma reta vertical que está x = h - p = 3 - (-4) = 3 + 4 = 7 unidades à direita do vértice (oposta à direção em que a parábola abre).
Então, a equação da diretriz é:

Resposta

  • Equação reduzida:
  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:

Exercícios relacionados

Escreva as equações paramétricas da parábola de equação y^2-4 y+x+1=0.
Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da parábola de vértice V=(0,0), utilizando as informações dadas:
(d) O foco pertence ao semi-eixo positivo das abscissas e a amplitude focal é 8.
Obter uma equação da parábola que satisfaça as condições dadas em cada item a seguir:
foco F(2,0); diretriz d: x+2=0
Determine a equação explícita da parábola cujo eixo seja paralelo à y=0 e que passa por A(-2,4), B(-3,2) e C(-6,0).