Para cada uma das equações gerais a seguir, determinar a equação reduzida, o vértice, o foco, e uma equação da diretriz da parábola:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado é sobre encontrar a equação reduzida, o vértice, o foco e a diretriz de uma parábola, dado a equação geral
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as parábolas e como transformar a equação geral em uma forma mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação das características da parábola. Queremos isolar os termos de
.
Temos:
Vamos agrupar os termos de
:
Passo 3
Agora, completamos o quadrado para os termos de
. Completar o quadrado ajuda a transformar a equação em uma forma padrão que facilita identificar o vértice.
Para completar o quadrado em
, pegamos o coeficiente de
, que é 4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor na equação:
Passo 4
Agora, isolamos o termo
:
Essa é a equação reduzida da parábola:
Passo 5
Identificamos o vértice da parábola a partir da equação reduzida. A forma geral é
, onde
é o vértice.
Comparando com a nossa equação:
Temos:
Então, o vértice é:
Passo 6
Para encontrar o foco, precisamos identificar o valor de
na equação reduzida. Na forma
, então:
Como a parábola abre para a esquerda (porque o coeficiente de
é negativo), o foco fica
unidades à esquerda do vértice.
Então, o foco está em:
Passo 7
Por fim, a diretriz é uma reta vertical que está
unidades à direita do vértice (oposta à direção em que a parábola abre).
Então, a equação da diretriz é:
Resposta
- Equação reduzida:
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz:
Exercícios relacionados
Escreva as equações paramétricas da parábola de equação
.
Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da parábola de vértice
, utilizando as informações dadas:
(d) O foco pertence ao semi-eixo positivo das abscissas e a amplitude focal é 8.
(d) O foco pertence ao semi-eixo positivo das abscissas e a amplitude focal é 8.
Obter uma equação da parábola que satisfaça as condições dadas em cada item a seguir:
foco ; diretriz
foco
Determine a equação explícita da parábola cujo eixo seja paralelo à
e que passa por
,
e
.