Obter uma equação da parábola que satisfaça as condições dadas em cada item a seguir:
foco
; diretriz
foco
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação de uma parábola que tem como foco o ponto
e como diretriz a reta
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as parábolas. Precisamos entender como relacionar o foco e a diretriz para chegar à equação da parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz. Então, qualquer ponto
na parábola satisfaz a condição de que a distância de
ao foco
é igual à distância de
à diretriz
.
Passo 3
Vamos expressar matematicamente essa condição. A distância entre dois pontos
e
é dada pela fórmula:
Então, a distância de
ao foco
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância de
à diretriz
. A distância de um ponto a uma reta
é dada por:
No nosso caso, a equação da diretriz é
, que podemos reescrever como
. Então, a distância é:
Passo 5
De acordo com a definição da parábola, essas duas distâncias são iguais. Então, temos:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 6
Agora, vamos expandir os quadrados:
Substituindo na equação:
Passo 7
Vamos simplificar a equação, primeiro subtraindo
e
de ambos os lados:
Agora, somando
em ambos os lados:
Resposta
A equação da parábola que satisfaz as condições dadas é:
Exercícios relacionados
Para cada uma das equações gerais a seguir, determinar a equação reduzida, o vértice, o foco, e uma equação da diretriz da parábola:
Escreva as equações paramétricas da parábola de equação
.
Determine a equação explícita da parábola cujo eixo seja paralelo à
e que passa por
,
e
.
Obtenha uma equação geral para o plano que passa pelo ponto
e é paralelo ao plano
.