Obter uma equação da parábola que satisfaça as condições dadas em cada item a seguir:
foco F(2,0); diretriz d: x+2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação de uma parábola que tem como foco o ponto e como diretriz a reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as parábolas. Precisamos entender como relacionar o foco e a diretriz para chegar à equação da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz. Então, qualquer ponto na parábola satisfaz a condição de que a distância de ao foco é igual à distância de à diretriz .

Passo 3

Vamos expressar matematicamente essa condição. A distância entre dois pontos Distância = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e raiz(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = raiz(x - 2)^2 + y^2 é dada pela fórmula:
â
Então, a distância de ao foco é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância de Distância = |Ax + By + C|raizA^2 + B^2 à diretriz |1x + 0y + 2|raiz1^2 + 0^2 = |x + 2|1 = |x + 2| . A distância de um ponto a uma reta é dada por:
â
No nosso caso, a equação da diretriz é , que podemos reescrever como . Então, a distância é:

Passo 5

De acordo com a definição da parábola, essas duas distâncias são iguais. Então, temos:
raiz(x - 2)^2 + y^2 = |x + 2|
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x - 2)^2 + y^2 = (x + 2)^2

Passo 6

Agora, vamos expandir os quadrados:
(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4
Substituindo na equação:
x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + 4x + 4

Passo 7

Vamos simplificar a equação, primeiro subtraindo -4x + y^2 = 4x e y^2 = 8x de ambos os lados:
Agora, somando em ambos os lados:

Resposta

A equação da parábola que satisfaz as condições dadas é:
y^2 = 8x

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