Em cada um dos exercícios abaixo, faça o diagrama de corpo livre de todos os objetos.
Reescreva o resultado do problema 2 em termos do ângulo crítico thetaE obtido no problema 3. A partir deste resultado, determine qual é o ângulo theta que F deve fazer com a horizontal, para que haja movimento, sendo que a força F possua o menor módulo o possível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente reescrever o resultado do problema 2 usando o ângulo crítico thetaE que a gente encontrou no problema 3. Depois disso, precisamos descobrir qual é o ângulo theta que a força F deve formar com a horizontal para que o objeto comece a se mover, garantindo que essa força tenha o menor módulo possível. A matéria envolvida aqui é a Estática, mais especificamente sobre o Equilíbrio de Forças e o Ângulo Crítico relacionado ao atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o ângulo crítico thetaE. Esse ângulo é aquele no qual a força aplicada é exatamente suficiente para vencer o atrito estático, ou seja, o objeto está prestes a se mover. A relação entre o ângulo crítico e o coeficiente de atrito estático mu é dada por:
tan thetaE = mu
Isso significa que:
thetaE = tan^-1(mu)

Passo 3

No problema 2, provavelmente tínhamos uma relação entre a força F, seus componentes e o atrito. Supondo que a força F forme um ângulo theta com a horizontal, seus componentes seriam:
  • Componente horizontal: F cos theta
  • Componente vertical: F sin theta
Para que haja movimento, a componente horizontal da força deve ser igual à força de atrito máximo:
F cos theta = mu N
Onde N é a força normal. Se o objeto estiver sobre uma superfície horizontal e sem outras forças verticais além do peso, temos:
N = mg - F sin theta
Substituindo na equação anterior:
F cos theta = mu (mg - F sin theta)

Passo 4

Agora, queremos reescrever essa equação em termos do ângulo crítico thetaE. Sabemos que:
mu = tan thetaE
Então, substituindo:
F cos theta = tan thetaE (mg - F sin theta)

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar o ângulo theta que a força deve fazer para que o módulo de F seja o menor possível. Para minimizar F, queremos que a força seja aplicada de forma mais eficiente, ou seja, com a maior componente horizontal possível relativa ao atrito.
Observando a equação:
F cos theta + F tan thetaE sin theta = tan thetaE mg
Fatorando F:
F (cos theta + tan thetaE sin theta) = tan thetaE mg
Então:
F = tan thetaE mgcos theta + tan thetaE sin theta

Passo 6

Para minimizar F, vamos derivar essa expressão em relação a theta e igualar a zero, mas de forma mais simples, percebemos que a eficiência máxima ocorre quando a direção da força está alinhada com o ângulo crítico. Ou seja, quando:
theta = thetaE
Isso significa que a força deve ser aplicada exatamente no ângulo crítico para que seu módulo seja o menor possível para iniciar o movimento.

Resposta

O ângulo theta que a força F deve formar com a horizontal para que haja movimento com o menor módulo possível é igual ao ângulo crítico thetaE. Portanto,
theta = thetaE

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