Em cada um dos exercícios abaixo, faça o diagrama de corpo livre de todos os objetos.
Reescreva o resultado do problema 2 em termos do ângulo crítico
obtido no problema 3. A partir deste resultado, determine qual é o ângulo
que
deve fazer com a horizontal, para que haja movimento, sendo que a força
possua o menor módulo o possível.
Reescreva o resultado do problema 2 em termos do ângulo crítico
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente reescrever o resultado do problema 2 usando o ângulo crítico
que a gente encontrou no problema 3. Depois disso, precisamos descobrir qual é o ângulo
que a força
deve formar com a horizontal para que o objeto comece a se mover, garantindo que essa força tenha o menor módulo possível. A matéria envolvida aqui é a Estática, mais especificamente sobre o Equilíbrio de Forças e o Ângulo Crítico relacionado ao atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o ângulo crítico
. Esse ângulo é aquele no qual a força aplicada é exatamente suficiente para vencer o atrito estático, ou seja, o objeto está prestes a se mover. A relação entre o ângulo crítico e o coeficiente de atrito estático
é dada por:
Isso significa que:
Passo 3
No problema 2, provavelmente tínhamos uma relação entre a força
, seus componentes e o atrito. Supondo que a força
forme um ângulo
com a horizontal, seus componentes seriam:
- Componente horizontal:
- Componente vertical:
Para que haja movimento, a componente horizontal da força deve ser igual à força de atrito máximo:
Onde
é a força normal. Se o objeto estiver sobre uma superfície horizontal e sem outras forças verticais além do peso, temos:
Substituindo na equação anterior:
Passo 4
Agora, queremos reescrever essa equação em termos do ângulo crítico
. Sabemos que:
Então, substituindo:
Passo 5
Nosso objetivo é encontrar o ângulo
que a força deve fazer para que o módulo de
seja o menor possível. Para minimizar
, queremos que a força seja aplicada de forma mais eficiente, ou seja, com a maior componente horizontal possível relativa ao atrito.
Observando a equação:
Fatorando
:
Então:
Passo 6
Para minimizar
, vamos derivar essa expressão em relação a
e igualar a zero, mas de forma mais simples, percebemos que a eficiência máxima ocorre quando a direção da força está alinhada com o ângulo crítico. Ou seja, quando:
Isso significa que a força deve ser aplicada exatamente no ângulo crítico para que seu módulo seja o menor possível para iniciar o movimento.
Resposta
O ângulo
que a força
deve formar com a horizontal para que haja movimento com o menor módulo possível é igual ao ângulo crítico
. Portanto,