Em cada extracção de uma lotaria, concorrem 40.000 bilhetes. Um indivíduo foi agraciado com 10.000 bilhetes, com os quais ele vai concorrer, podendo, se quiser, dividir os 10.000 bilhetes em duas partes, da maneira que bem entender, para concorrer em duas extrações. Como deve ser feita a divisão para que a probabilidade dele ganhar pelo menos uma vez seja máxima?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem que lidar com probabilidades aqui. O enunciado diz que em cada extração da loteria concorrem 40.000 bilhetes. Um amigo tem 10.000 bilhetes e pode dividir esses bilhetes em duas partes para participar de duas extrações diferentes. A pergunta é: como ele deve dividir esses 10.000 bilhetes para aumentar ao máximo a chance de ganhar pelo menos uma vez?

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a probabilidade de ganhar em uma extração. Se tem 40.000 bilhetes no total e ele tem $ x $ bilhetes, a probabilidade de não ganhar nessa extração é:
x
Isso porque $ \frac{x}{40.000} $ é a chance de ganhar, então $ 1 - \frac{x}{40.000} $ é a chance de não ganhar.

Passo 3

Agora, como ele vai participar de duas extrações, vamos supor que ele divide seus 10.000 bilhetes em duas partes: $ x $ bilhetes na primeira extração e $ 10.000 - x $ bilhetes na segunda.
A probabilidade de não ganhar na primeira extração é $ 1 - \frac{x}{40.000} $ e na segunda é $ 1 - \frac{10.000 - x}{40.000} $.

Passo 4

Para achar a probabilidade de não ganhar em nenhuma das extrações, multiplicamos as duas probabilidades:
(1 - x40.000) times (1 - 10.000 - x40.000)
Queremos minimizar essa probabilidade para maximizar a chance de ganhar pelo menos uma vez.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
(1 - x40.000) times (1 - 10.000 - x40.000) = (40.000 - x40.000) times (30.000 + x40.000)
Multiplicando os numeradores:
(40.000 - x)(30.000 + x)40.000^2

Passo 6

Para encontrar o valor de $ x $ que minimiza essa expressão, podemos pensar no comportamento da função. Se dividir os bilhetes igualmente ($ x = 5.000 $), a probabilidade de não ganhar em ambas as extrações é:
x
Mas se ele colocar todos os 10.000 bilhetes em uma só extração ($ x = 10.000 $), a probabilidade de não ganhar em nenhuma é:
x = 5.000

Passo 7

Comparando as duas situações:
  • Dividindo igualmente: probabilidade de não ganhar = 0,7656
  • Colocando tudo em uma extração: probabilidade de não ganhar = 0,75
Como 0,75 é menor que 0,7656, isso significa que colocar todos os 10.000 bilhetes em uma única extração aumenta a chance de ganhar pelo menos uma vez.

Resposta

Para maximizar a probabilidade de ganhar pelo menos uma vez, o indivíduo deve colocar todos os 10.000 bilhetes em uma única extração. Dessa forma, a chance de ganhar é de 25%.

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